x^3 = y^2 + 2 Era: [obm-l] Problema de teoria dos numeros

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Paulo:

 

De fato, existem pelo menos duas soluções: (3,5) e (3,-5).

 

Seja (a,b) tal que a^3 = b^2 + 2.

Olhando a equação mod 2, concluímos que que a e b são ambos ímpares.

 

O anel A = Z[raiz(-2)] é um domínio euclidiano (com norma N(x+yraiz(-2)) = x^2 + 2y^2) ==>

A é um domínio fatorial onde os únicos invertíveis são 1 e -1.

 

Em A, podemos escrever a^3 = (b - raiz(-2))(b + raiz(-2)).

Seja u = mdc(b + raiz(-2),b - raiz(-2)) em A

Então u | b + raiz(-2)  e  u | 2raiz(-2) ==>

N(u) | N(2raiz(-2)) = 8 ==> N(u) = 1, 2, 4 ou 8.

N(u) | N(b + raiz(-2)) = b^2 + 2 = ímpar ==> N(u) é ímpar.

Logo, N(u) = 1 ==> u = +/-1 ==> b + raiz(-2) e b - raiz(-2) são primos entre si.

 

Como A é um domínio fatorial, isso implica que b - raiz(-2) e b + raiz(-2) são cubos perfeitos em A, ou seja, existem x e y em Z tais que:

(x + yraiz(-2))^3 = b + raiz(-2) ==>

x^3 + 3x^2yraiz(-2) - 6xy^2 - 2y^3raiz(-2) = b + raiz(-2) ==>

(igualando as partes reais e imaginárias correspondentes)

x^3 - 6xy^2 = b  (i)    e   3x^2y - 2y^3 = 1  (ii)

 

(ii) pode ser escrita como  y(3x^2 - 2y^2) = 1 ==>

y | 1 ==> y = 1 ou  y = -1.

y = 1 ==> 3x^2 - 2 = 1 ==> 3x^2 = 3 ==> x = +/-1

y = -1 ==> 3x^2 - 2 = - 1 ==> 3x^2 = 1 ==> não há soluções

 

De (i), obtemos:

x = 1; y = 1 ==> b = -5 ==> a = 3

x = -1; y = 1 ==> b = 5 ==> a = 3

 

Logo, as únicas soluções são mesmo (3,5) e (3,-5).

 

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

obm-l@mat.puc-rio.br

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Data:

Mon, 4 Dec 2006 23:45:57 +0000

Assunto:

RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros

Mostre que  a equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros.