Re: x^3 = y^2 + 2 Era: [obm-l] Problema de teoria dos numeros

[Johann Peter Dirichlet <peterdirichlet2003@xxxxxxxxx>]

Uma coisa que eu sempre me pergunto é se seria possível escrever isto de
maneira mais elementar.

Acho que faz uns 4 anos pelo menos que propus este problema mas com
outra roupagem:

"Determine todos os cubos cujos antecessores são antecessores de quadrados"
Mas eu mesmo obtive pouco progresso. Usar álgebra abstrata é bonito mas
meio que covardia para um problema com uma cara tão elementar...

claudio.buffara wrote:
> Oi, Paulo:
>
> De fato, existem pelo menos duas soluções: (3,5) e (3,-5).
>
> Seja (a,b) tal que a^3 = b^2 + 2.
> Olhando a equação mod 2, concluímos que que a e b são ambos ímpares.
>
> O anel A = Z[raiz(-2)] é um domínio euclidiano (com norma N(x+yraiz(-2)) = x^2 + 2y^2) ==> 
> A é um domínio fatorial onde os únicos invertíveis são 1 e -1. 
>
> Em A, podemos escrever a^3 = (b - raiz(-2))(b + raiz(-2)).
> Seja u = mdc(b + raiz(-2),b - raiz(-2)) em A
> Então u | b + raiz(-2)  e  u | 2raiz(-2) ==>
> N(u) | N(2raiz(-2)) = 8 ==> N(u) = 1, 2, 4 ou 8.
> N(u) | N(b + raiz(-2)) = b^2 + 2 = ímpar ==> N(u) é ímpar.
> Logo, N(u) = 1 ==> u = +/-1 ==> b + raiz(-2) e b - raiz(-2) são primos entre si.
>
> Como A é um domínio fatorial, isso implica que b - raiz(-2) e b + raiz(-2) são cubos perfeitos em A, ou seja, existem x e y em Z tais que:
> (x + yraiz(-2))^3 = b + raiz(-2) ==>
> x^3 + 3x^2yraiz(-2) - 6xy^2 - 2y^3raiz(-2) = b + raiz(-2) ==>
> (igualando as partes reais e imaginárias correspondentes)
> x^3 - 6xy^2 = b  (i)    e   3x^2y - 2y^3 = 1  (ii)
>
> (ii) pode ser escrita como  y(3x^2 - 2y^2) = 1 ==> 
> y | 1 ==> y = 1 ou  y = -1.
> y = 1 ==> 3x^2 - 2 = 1 ==> 3x^2 = 3 ==> x = +/-1
> y = -1 ==> 3x^2 - 2 = - 1 ==> 3x^2 = 1 ==> não há soluções
>
> De (i), obtemos:
> x = 1; y = 1 ==> b = -5 ==> a = 3
> x = -1; y = 1 ==> b = 5 ==> a = 3
>
> Logo, as únicas soluções são mesmo (3,5) e (3,-5).
>
>
> []s,
> Claudio.
>  
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Cópia:
>
> Data:Mon, 4 Dec 2006 23:45:57 +0000
>
> Assunto:RE: [obm-l] Problema de teoria dos numeros
>
>
> Mostre que  a equacao X^3 = Y^2 + 2 tem uma unica solucao no anel dos inteiros.
>
>   

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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