[obm-l] Re: [obm-l] Problema 6 da OBM nível U

[Saulo <sjdmc@xxxxxxxxx>]

Nossa bela resolução!! Eu estava tentando aqui resolver essa questão tbm =/
Thank you Sir Nicolau.

Em Thu, 16 Nov 2006 16:33:37 -0200, Nicolau C. Saldanha  
<nicolau@mat.puc-rio.br> escreveu:

> Escrevi a solução do problema 6 para o Claudio Buffara,
> acho que outros aqui também devem estar interessados.
> O enunciado está aqui:
> http://www.obm.org.br/provas/obm2006/2Fase_Nivelu_2006.pdf
>
> Este problema pode ser resolvido por geometria hiperbólica,
> ou, para quem não souber o que é isto, números complexos.
> O plano hiperbólico H aqui é o semiplano superior no plano complexo.
> Uma matriz em SL(2,R) deve ser interpretada como uma transformação
> de Möbius em C: z |-> (az+b)/(cz+d), uma isometria de H.
> As isometrias do problema são A(z) = z+2 e B(z) = z/(2z+1).
> Na figura, o semiplano superior está dividido em 5 pedaços:
> X, A+, A-, B+ e B-. É fácil verificar que
>      A(X U A+ U B+ U B-) = A+,
> A^(-1)(X U A- U B+ U B-) = A-,
>      B(X U A+ U A- U B+) = B+,
> B^(-1)(X U A+ U A- U B-) = B-.
> Assim z = (A^a1 B^b1 ... A^an B^bn)(i) pertence a A+ se a1 > 0,
> pertence a A- se a1 < 0, pertence a B+ se a1 = 0, b1 > 0
> e pertence a B- se a1 = 0, b1 < 0.
> Em nenhum caso temos z = i donde o produto de matrizes não é a  
> identidade.
>
> []s, N.



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