[obm-l] RES: [obm-l] Bijeção Monótona = Contínua ?

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Suponhamos que f:I -> J seja uma bijecao monotonicamente crescente (se for decrescente, o racicinio eh analogo). Admitamos que em algum a de I f seja descontinua. Sendo f monotonivcamente crescente, a descontinuidade eh do tipo salto. Se o salto for em a+, entao f(a) < lim (x ->a+)  f(x) = s+, e o carater crescente de f implica que a mesma nao assuma valores em (f(a), s+). Logo, f(I) nao eh um intervalo, contrariamente aa hipotese de que f(I) = J. Se o salto for em a-, entao f nao assume valores em (s-, f(a), tambem contrariando a hipotese de que   f(I) = J. Logo, f nao pode apresentar descontinuidades e a resposta para a primeira questao eh sim. Esta certo, nao eh?

 

Para a segunda questao, sabemos da teoria de medidas que, se f eh monotona em algum intervalo I, entao o conjunto D, composto pelos elementos de I nos quais f nao eh derivavel,  tem medida de Lebesgue nula.  Logo, D eh subconjunto proprio de I, visto que I tem por medida o seu comprimento, que eh positivo. A resposta,  portanto, eh nao, nao existe tal f.  Mas nao sei dizer se D pode ser denso em I.

 

Artur  

 

 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de claudio.buffara
Enviada em: quinta-feira, 16 de novembro de 2006 14:43
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Bijeção Monótona = Contínua ?

Mais um probleminha na nossa investigação das funções contínuas:

 

Sejam I e J intervalos na reta de mesmo tipo (homeomorfos).

Se f: I -> J é uma bijeção monótona, podemos concluir que f é contínua?

Existe uma tal f que não seja derivável em ponto algum de I?

 

[]s,

Claudio.