[obm-l] Problema 6 da OBM nível U

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Escrevi a solução do problema 6 para o Claudio Buffara,
acho que outros aqui também devem estar interessados.
O enunciado está aqui:
http://www.obm.org.br/provas/obm2006/2Fase_Nivelu_2006.pdf

Este problema pode ser resolvido por geometria hiperbólica,
ou, para quem não souber o que é isto, números complexos.
O plano hiperbólico H aqui é o semiplano superior no plano complexo.
Uma matriz em SL(2,R) deve ser interpretada como uma transformação
de Möbius em C: z |-> (az+b)/(cz+d), uma isometria de H.
As isometrias do problema são A(z) = z+2 e B(z) = z/(2z+1).
Na figura, o semiplano superior está dividido em 5 pedaços:
X, A+, A-, B+ e B-. É fácil verificar que
     A(X U A+ U B+ U B-) = A+,
A^(-1)(X U A- U B+ U B-) = A-,
     B(X U A+ U A- U B+) = B+,
B^(-1)(X U A+ U A- U B-) = B-.
Assim z = (A^a1 B^b1 ... A^an B^bn)(i) pertence a A+ se a1 > 0,
pertence a A- se a1 < 0, pertence a B+ se a1 = 0, b1 > 0
e pertence a B- se a1 = 0, b1 < 0.
Em nenhum caso temos z = i donde o produto de matrizes não é a identidade.

[]s, N.

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