[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] Solu��es OBM 2006 (Nivel 3) (Problema 6 Nivel U)

["gabriel bujokas" <bujokas@xxxxxxxxxxx>]

Oi M�rcio,

A solu��o que eu pensei pro problema 6 interpreta as matrizes A B como 
operadoers lineares sobre os pontos do primeiro quadrante.
Assim, pega (x,y) no primeiro quadrante. ent�o A*((x,y)transposto) =(x',y'); 
mas (x',y') � mais longe da origem que (x,y) ( norma de A(x,y)t � maior que 
norma de (x,y)). A mesma coisa pro B.
Ent�o, sup�e que existe um produt�o de A e B que d� I. A� multiplica pelo 
vetor coluna (1,1) dos dois lados, que � a mesma coisa que aplicar cada lado 
da equa��o como um operador sobre o ponto (1,1), e a� o lado direito 
continua sendo o ponto (1,1), e o esquerdo vira um ponto mais longe da 
origem que (1,1). Ent�o absurdo!
Abra�o,
Gabriel



>From: "claudio\.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Solu��es OBM 2006 (N�vel 3)
>Date: Mon, 13 Nov 2006 19:23:46 -0300
>
>Oi, M�rcio:
>
>Tive uma id�ia pra esse problema.
>
>Aplicando a matriz A^a B^b ao vetor (x,y)^t, obtemos a imagem:
>( (4ab +1)x + 2ay , 2bx + y ).
>Assim, se ctg(t) = x/y (supondo y <> 0), teremos que:
>ctg(t') = ((4ab +1)x + 2ay)/(2bx + y) = 2a + 1/(2b + 1/ctg(t))
>
>Logo, se P = Produto(i=1...n) A^a_i B^b_i, ent�o:
>P(x_0,y_0)^t = (x_n,y_n)  e  ctg(t_0) = x_0/y_0 (y_0 <> 0) ==>
>ctg(t_n) = x_n/y_n =
>[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/ctg(t_0)]
>(fra��o cont�nua simples finita de coeficientes inteiros)
>
>Ou seja, ctg(t_n) e uma fun��o cont�nua de ctg(t_0).
>
>Agora, se dados n em N e a_i, b_i em Z - {0} (1<=i<=n), tivermos P = I, 
>ent�o a fun��o F:R-{0} -> R dada por:
>F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] ser� 
>igual a identidade, ou seja:
>[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] = x, para 
>todo x em R - {0}.
>
>No entanto, quando x -> +inf  e  x -> -inf, F(x) tende ao mesmo valor, dado 
>por: [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1] ==>
>contradi��o, pois se F(x) = x, dever�amos ter F(x) -> +inf e -inf, 
>respectivamente.
>
>Logo, n�o pode ser P = I para nenhum n em N, a_i, b_i em Z - {0}.
>
>Voc� v� algum furo?
>
>[]s,
>Claudio.
>
>De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
>Para:"obm-l@mat.puc-rio.br" obm-l@mat.puc-rio.br
>
>C�pia:
>
>Data:Sun, 12 Nov 2006 15:06:52 -0200
>
>Assunto:[obm-l] Solu��es OBM 2006 (N�vel 3)
>
>   Conforme prometido, eu e o Villard colocamos em www.majorando.com as 
>solu��es da OBM 2006.
>   Por enquanto colocamos apenas as solu��es do n�vel 3.
>   Para o n�vel U, est� faltando resolver a 6. Mesmo conversando com 
>diversos alunos que fizeram a prova ainda n�o conseguimos resolver essa 
>quest�o.
>   Se algu�m puder enviar a solu��o, ela ser� inclu�da no site no pr�ximo 
>fim de semana com os devidos cr�ditos (durante a semana � dif�cil de 
>arranjarmos tempo).
>   Abra�os,
>   Marcio Cohen

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