[obm-l] Re:[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Márcio:

 

Tive uma idéia pra esse problema.

 

Aplicando a matriz A^a B^b ao vetor (x,y)^t, obtemos a imagem:

( (4ab +1)x + 2ay , 2bx + y ).

Assim, se ctg(t) = x/y (supondo y <> 0), teremos que:

ctg(t') = ((4ab +1)x + 2ay)/(2bx + y) = 2a + 1/(2b + 1/ctg(t))

 

Logo, se P = Produto(i=1...n) A^a_i B^b_i, então:

P(x_0,y_0)^t = (x_n,y_n)  e  ctg(t_0) = x_0/y_0 (y_0 <> 0) ==>

ctg(t_n) = x_n/y_n =

[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/ctg(t_0)]

(fração contínua simples finita de coeficientes inteiros)

 

Ou seja, ctg(t_n) e uma função contínua de ctg(t_0).

 

Agora, se dados n em N e a_i, b_i em Z - {0} (1<=i<=n), tivermos P = I, então a função F:R-{0} -> R dada por:

F(x) = [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] será igual a identidade, ou seja:

[2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b_(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1 + 1/x] = x, para todo x em R - {0}.

 

No entanto, quando x -> +inf  e  x -> -inf, F(x) tende ao mesmo valor, dado por: [2a_n; 2b_n, 2a_(n-1), 2b(n-1), ..., 2b_2, 2a_1, 2b_1] ==>

contradição, pois se F(x) = x, deveríamos ter F(x) -> +inf e -inf, respectivamente.

 

Logo, não pode ser P = I para nenhum n em N, a_i, b_i em Z - {0}.

 

Você vê algum furo?

 

[]s,

Claudio.

 

De:	owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

"obm-l@mat.puc-rio.br" obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:

Sun, 12 Nov 2006 15:06:52 -0200

Assunto:

[obm-l] Soluções OBM 2006 (Nível 3)

  Conforme prometido, eu e o Villard colocamos em www.majorando.com as soluções da OBM 2006. 
  Por enquanto colocamos apenas as soluções do nível 3. 
  Para o nível U, está faltando resolver a 6. Mesmo conversando com diversos alunos que fizeram a prova ainda não conseguimos resolver essa questão.
  Se alguém puder enviar a solução, ela será incluída no site no próximo fim de semana com os devidos créditos (durante a semana é difícil de arranjarmos tempo).
  Abraços,
  Marcio Cohen