RES: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Acho que a resposta eh sim. Bijeçoes continuas entre intervalos de R sao
necessariaments estritamente monotonicas. Suponhamos que f seja uma bijecao
continua estritamente crescente. f(a) estah em [c,d] e, para todo x de
[a,b], x<>a, temos, pela monotonicidade estritamente crescente de f, que
f(a) < f(x). Como estes valores de f(x) tambem estao [c,d] e todo elemento
de [c,d] eh imagem de algum x de [a,b], temos que f(a) = infimo [c,d] = c.
De forma similar, concluimos que f(b) = d.

Se for estritamente decrescente, entao um raciocinio analogo mostra que f(a)
= d e que f(b) = a.   Assim, uma das condicoes dadas tem necessariamente que
vigorar.

Artur



> ----- Original Message ----- 
> From: "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Friday, November 10, 2006 8:33 AM
> Subject: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R
> 
> Aproveito a ocasiao pra propor uma nova questao:
> Sejam [a,b] e [c,d] intervalos nao-degenerados de R e f:[a,b]->[c,d] e uma

> bijecao continua.
> Temos que ter necessariamente f(a) = c ou d (e f(b) = d ou c)?
> 
> []s,
> Claudio.

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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