Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração antiga

["Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <peterdirichlet2003@xxxxxxxxx>]

Outra ideia mais interessante seria calcular cada termo em funcao das funcoes elementares simétricas

Se escrevermos 
S1=a+b+c
S2=ab+ac+bc
S3=abc

podemos escrever qualquer polinomio simetrico em funcao deles, e só deles.

Agora, escrever cada Pi=a^i+b^i+c^i é um pouco chato. Na verdade este
resultado é razoavelmente conhecido mas (pelo que vi aqui e em varios
lugares) pouco usado.

Depois eu posto, se conseguir achar um local aonde pesquisar sobre tal...

Em 13/11/06, Marcelo Salhab Brogliato <k4ss@uol.com.br> escreveu:

Olá,

 

acho que tem uma saída mais simples:

 

(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]

a + b + c = 0

 

 

a = - b - c

 

assim: a^3 + b^3 + c^3 = -(b+c)^3 + b^3 + c^3 = -3bc(b + c)

e: a^2 + b^2 + c^2 = (b+c)^2 + b^2 + c^2 = 2(b^2 + c^2 + bc)

 

logo, o lado direito da expressao fica: -3bc(b + c) * 2 * (b^2 + c^2 + bc) / 6 = - bc (b + c)(b^2 + c^2 + bc)

 

agora, o lado esquerdo:

 

(-b-c)^5 + b^5 + c^5 = -(b^5 + 5 b^4 c + 10 b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 + 5 b c^4 + c^5) + b^5 + c^5 = -(5 b^4 c + 10 b^3 c^2 + 10 b^2 c^3 + 5 b c^4) = -5(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4)

 

logo, o lado esquerdo fica: -5(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4) = -(b^4 c + 2 b^3 c^2 + 2 b^2 c^3 + b c^4) = - bc (b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3)

 

agora, falta só uma fatoradinha, ou abrir oq tivemos do lado esquerdo...

acho mais facil abrir, entao:

 

(b + c)(b^2 + c^2 + bc) = b^3 + b c^2 + b^2 c + b^2 c + c^3 + b c^2 = b^3 + 2 b^2 c + 2 b c^2 + c^3

 

logo, sao iguais.

 

abraços,

Salhab

 

 

 

 

----- Original Message -----

From: GERALDO FRANCISCO DE SOUZA REBOUÇAS

To: Lista _OBM

Sent: Sunday, November 12, 2006 9:41 PM

Subject: [obm-l] demonstração antiga

--- Ramon Carvalho escreveu:
>
> > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre
> > positivo para a E R
> > 1.1) Achar o menor valor dessa função
> >
> > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 =
> > (a^3 + b^3 + c^3)/3 .
> > (a^2 + b^2 + c^2)/2
> >
> > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda
> > seria bem vinda
> >
> >
> > Desde já, grato

 

Como a 1ª questão ja foi feita vamos a 2ª, ela foi feita por um amigo meu, JP:

 

(a^5 + b^5 +c^5)/5 = [(a^3 + b^3 + c^3)/3]*[a^2 + b^2 + c^2)/2]  =>

 

(a^5 + b^5 +c^5)/5 =  [(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/6 =>

 

[(a^3 + b^3 + c^3)*(a^2 + b^2 + c^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>

 

[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]/(a^5 + b^5 +c^5) = 6/5 =>

 

5*{[a^5 + (a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + b^5 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + c^5 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]} = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>

 

5*(a^5 + b^5 + c^5) + 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)] = 6*(a^5 + b^5 +c^5)  (i) =>

 

a^5 + b^5 +c^5 = 5*[(a^3)*b^2 + (a^3)*c^2 + (b^3)*a^2 + (b^3)*c^2 + (c^3)*a^2 + (c^3)*b^2)]   (ii) =>

 

substituindo (ii) em (i):

 

5*(a^5 + b^5 +c^5) + (a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>

 

6*(a^5 + b^5 +c^5) = 6*(a^5 + b^5 +c^5) =>

 

1 = 1 (ufa !!!!)

---

O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!

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