RES: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Gostei! 

Vamos agora ver um teorema do qual a primeira mensagem é caso particular.

Seja T um espaco topologico conexo, composto por pelo menos 2 pontos, tal
que, para cada t de T, o conjunto T(t) = T - {t} seja  conexo.  Nao existe,
entao, injecao continua de T sobre R.

Prova (baseada no fato de que mapeamentos continuos preservam
conectividade):

Suponhamos que f:T-> R seja uma injecao continua. Entao, f(T) eh conexo e
contem pelo menos 2 pontos, o que, pelas propriedades  de R, implica que
f(T) seja um intervalo nao degenerado. Sejam a um ponto interior de f(T) e t
o unico elemento de T tal que f(t) = a. Por hipotese, T(t) = T - {t} eh
conexo, o que implica que f(T(t)) tambem o seja. Por construcao e pela
injetividade de f, temos ainda que f(T(t)) = f(T) -{a}. Mas como f(T) eh um
intervalo e a eh ponto interior de f(T), os conjuntos (-oo, a) e (a, oo)
formam uma desconexão de f(T), contrariamente aa conclusao anterior. Logo,
não há f continua e injetiva de T sobre R.

Esta conclusao eh imediatamente particularizada para regioes T (conjuntos
abertos e conexos) de R^n, n>=2, sobre R, visto que, por serem conexas por
caminhos, vale que T - {t} eh conexo para todo t de T.

Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de claudio.buffara
Enviada em: sexta-feira, 10 de novembro de 2006 08:34
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R


Ha alguns dias o Artur mandou uma mensagem que pedia para provar que nao
existe uma funcao injetiva continua de um produto 
cartesiano dois ou mais intervalos nao-degenerados em R. Um caso particular
e provar nao existe uma funcao injetiva continua de R^2 em 
R.

Suponha que exista f:R^2 -> R continua e injetiva.

Se PQ e um segmento de reta fechado e nao-degenerado em R^2, entao PQ e
compacto e conexo.
Como f e continua, f(PQ) sera compacta e conexa ==> f(PQ) = [a,b] =
intervalo compacto de R
Como f e injetiva, f(P) <> f(Q) ==> [a,b] e nao-degenerado.

R^2 contem uma infinidade nao-enumeravel de segmentos de reta fechados e
nao-degenerados.
Por exemplo, para cada a em R, os segmentos ligando os pontos (a,0) e (a,1)
sao disjuntos e em quantidade nao-enumeravel.
Assim, as imagens por f de quaisquer dois destes segmentos serao intervalos
compactos disjuntos e nao-degenerados.
No entanto, R contem no maximo uma quantidade enumeravel de tais intervalos
(tome um racional em cada um deles).
Essa contradicao prova que nao pode haver uma funcao injetiva continua de
R^2 em R.

O argumento acima e facilmente generalizavel para o caso geral proposto pelo
Artur.

***

Aproveito a ocasiao pra propor uma nova questao:
Sejam [a,b] e [c,d] intervalos nao-degenerados de R e f:[a,b]->[c,d] e uma
bijecao continua.
Temos que ter necessariamente f(a) = c ou d (e f(b) = d ou c)?

[]s,
Claudio.



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================