RE: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Fri, 10 Nov 2006 17:46:16 +0000
Assunto: RE: [obm-l] Injecao continua de R^2 em R

> >Aproveito a ocasiao pra propor uma nova questao:
> >Sejam [a,b] e [c,d] intervalos nao-degenerados de R e f:[a,b]->[c,d] e uma 
> >bijecao continua.
> >Temos que ter necessariamente f(a) = c ou d (e f(b) = d ou c)?
> 
> Seja I o intervalo fechado com extremos f-1(c), f-1(d)  (f-1 é a função 
> inversa de f).
> Então como I é compacto e conexo, e f contínua, f(I) é compacto e conexo. 
> Como os subconjuntos compactos e conexos de R são intervalos fechados ( 
> [x,y], para algum x<y real), e f(I) contém c e d, então f(I) contém [c,d], 
> então f(I) é igual a [c,d].
> Logo I=f-1([c,d])=[a,b] ( função bijetiva), então {f-1(c);f-1(d)}={a,b}
> 
> Abraço,
> Gabriel Bujokas
> 
> 
Legal esse argumento. Eu tinha pensado em usar o fato de que uma injecao continua de um intervalo em R e necessariamente 
monotona. Dai, no nosso caso, f(a) = elemento minimo ou elemento maximo de Im(f) = c ou d.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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