Re: [obm-l] Soma de binomiais

["Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet" <peterdirichlet2003@xxxxxxxxx>]

Mas a ideia dele e extremamente geral!
Beleza não está só nas cartadas mágicas e nos coelhos tirados da cartola, 
mas na generalização de boas idéias.

Talvez voce pense que e muito magica pois ele nao explicou de onde veio o numero imaginario. 
Mas esta tecnica e bastante famosa e manjada, por assim dizer.

Por exemplo, como se calcularia
C(n,0)+C(n,3)+C(n,6)+C(n,9)+C(n,12)+C(n,15)+...

Bem, se voce der uma olhada na expressao
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+C(n,3)x^3+...

sentir-se-á entado a usá-la. Mas temos que filtrar os coeficientes multiplos de 3 dela.
Que tal usar uma raiz cubica da unidade (um complexo w tal que w^3=1)?
Temos algumas propriedades legais dele, mas a mais util e esta: w^2+w+1=0

Apenas para escrever menos nas proximas contas, seja 
S0 = C(n,0)+C(n,3)+C(n,6)+C(n,9)+C(n,12)+C(n,15)+...


S1 = C(n,1)+C(n,4)+C(n,7)+C(n,10)+C(n,13)+C(n,16)+...


S2 = C(n,2)+C(n,5)+C(n,8)+C(n,11)+C(n,14)+C(n,17)+...


Substituindo...

(1+1)^n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...
(1+w)^n=C(n,0)+C(n,1)w^1+C(n,2)w^2+C(n,3)w^3+...
(1+w^2)^n=C(n,0)+C(n,1)w^2+C(n,2)w^4+C(n,3)w^6+...


Reescrevendo as equacoes, veja que

2^n=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...
(-w^2)^n=C(n,0)+C(n,1)w^1+C(n,2)w^2+C(n,3)+...
(-w)^n=C(n,0)+C(n,1)w^2+C(n,2)w^1+C(n,3)+...



Em nome dos Si que eu fiz antes,

2^n          =        S0+S1       +S2

(-w^2)^n =        S0+S1w^1+S2w^2

(-w)^n      =        S0+S1w^2+S2w^1

E e so resolver um sisteminha !

P.S.: Eu posso ter errado as contas acima e mesmo ter desconsiderado alguns casinhos extremos 
(como n se nao-multiplo de 3) mas a ideia e essa.

Bem, deu pra entende algo depois disso? :P




De todo modo e so retornar a ligacao, digo, mail :P

2006/10/30, J. Renan <jrenan@gmail.com>:

Ok!

Entendi todos os passos da sua resposta, obrigado! A sua saída, Iuri,  foi muito bonita, porém, serve apenas pra esse caso extremamente particular... existe alguma forma mais geral de se resolver esse tipo de exercício?

2006/10/29, Iuri <iurisilvio@gmail.com>:

Desenvolvendo (1+i)^n vc tem C(n,0) + i*C(n,1) -C(n,2) -i*C(n,3) + C(n,4)... Ou seja, a parte real do (1+i)^n é a soma que vc quer.

Re[(1+i)^n] = 1 -  C(n,2) + C(n,4) - ...

(1+i)^n = sqrt(2)^n*cis(45º*n)=sqrt(2)^n*cos(45n) + i*sqrt(2)^n*sen(45), e portanto a parte real é sqrt(2)^n*cos(45ºn). Substituindo n por 4n, temos a soma q vc quer: 1 -  C(4n,2) + C(4n,4) - ... - C(4n,4n-2) + 1 = sqrt(2)^4n*cos(45*4n) = sqrt(2)^4n*cos(180n) =2^(2n)*cos(180n)

cos(180n) = (-1)^n

S=2^(2n)*(-1)^n

Letra A

Iuri

On 10/29/06, J. Renan <jrenan@gmail.com > wrote:

Olá! Peço ajuda na resolução do seguinte exercício..

Para cada n pertencente aos naturais, temos que;

1 -  C(4n,2) + C(4n,4) - ... - C(4n,4n-2) + 1 é igual a:

a) (-1)^n*2^(2n)
b)2^(2n)
c)(-1)^n*2^n
d)(-1)^(n+1)*2^(2n)
e)(-1)^(n+1)*2^n


** C(x,y) denota a combinação de x elementos tomados y a y.


Pensei em fazer o seguinte... organizar a soma e a subtração e substituir o primeiro 1 por C(4n,0) e o último por C(4n,4n), ai ficamos com:

S = C(4n,0) + C(4n,4) + C(4n,8) + ... + C(4n,4n) - [ C(4n,2) + C(4n,6) + C(4n,10) + ... + C (4n,4n-2) ]

Não consigo aplicar aquele conceito da soma de uma linha no triângulo de pascal. Cheguei até onde consegui.. qualquer ajuda seria de grande valia!



Abraços,
Jonas Renan

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Um Grande Abraço,
Jonas Renan

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