Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos

[Iuri <iurisilvio@xxxxxxxxx>]

Partindo um pouco da idéia do Nehab, faça p(k)=0, e depois p'(k)=0. Quando fizer isso para a derivada, encontrará a raiz k. Depois volta pro p(k)=0, substituindo o k. Daí d=-k^3-3k^2+2k, e é só fazer a conta..

Iuri

On 10/28/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net> wrote:

Ué  Renan.

Achei sua solução ótima e bem inteligente, por usar apenas recursos
básicos envolvendo polinômios..   Mas se quiser complicar :-), ache o
MDC entre p(x) = x^3 + 3x^2 -2x +d  e a derivada dele...., pois se um
polinômio possui raiz "a" de multiplicidade k>1, então p'(x)  possui
raiz "a" com multiplicidade k-1...   Achei exatamente o mesmo
resultado que você, com um pouquinho mais de trabalho ...:-).  Logo,
prefiro sua solução !

Abraços,
Nehab

At 22:13 27/10/2006, you wrote:
>Olá amigos da lista,
>
>Queria pedir ajuda na seguinte questão:
>
>Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante
>real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no
>intervalo ]0,1[ ?
>
>Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja
>mais inteligente que a solução abaixo?
>
>Resolução
>
>x^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)
>Onde a e b são as raízes
>x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2b
>
>Isso resulta em
>
>b+2a = -3 -> b = -3 - 2a        (I)
>2ab+a^2 = -2                       (II)
>d = - a^2b                            (III)
>
>Substituindo b (I) em (II)
>
>2a(-3-2a) + a^2 = -2
>
>para a pertencente a ]0,1[
>a = (SQRT(15)-3)/3
>
>b = (-3 -2*sqrt(15))/3
>
>e d = - a^2b
>logo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9
>
>Agradeço antecipadamente pela ajuda.
>
>J.Renan

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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