Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos :-)

[Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@xxxxxxxxx>]

Oi, Renan

Se seu referencial é o cão labrador, de fato você está perdido, mas se
forem apenas os humanos, seu nariz tem andado ótimo...:-)

Abraços,
Nehab

At 00:53 28/10/2006, you wrote:

Olá Nehab!

O que eu queria Nehab, era achar uma solução mais geral que não caísse em um sistema de equações (se fosse de um grau maior o negócio ia complicar). Tinha me esquecido desse teorema que você falou sobre multiplicidade de raízes.

Esse tipo de exercício sempre 'cheira' uma saída utilizando o teorema de bolzano (ao menos pra mim, que não tenho o olfato muito desenvolvido). Vou ver se consigo resolver também por essa forma que você sugeriu.

Obrigado pela resposta rápida!

Abraços,
J. Renan

Em 28/10/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net > escreveu:

Ué  Renan.

Achei sua solução ótima e bem inteligente, por usar apenas recursos

básicos envolvendo polinômios..   Mas se quiser complicar :-), ache o

MDC entre p(x) = x^3 + 3x^2 -2x +d  e a derivada dele...., pois se um

polinômio possui raiz "a" de multiplicidade k>1, então p'(x)  possui

raiz "a" com multiplicidade k-1...   Achei exatamente o mesmo

resultado que você, com um pouquinho mais de trabalho ...:-).  Logo,

prefiro sua solução !

Abraços,

Nehab

At 22:13 27/10/2006, you wrote:

>Olá amigos da lista,

>

>Queria pedir ajuda na seguinte questão:

>

>Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante

>real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no

>intervalo ]0,1[ ?

>

>Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja

>mais inteligente que a solução abaixo?

>

>Resolução

>

>x^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)

>Onde a e b são as raízes

>x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2b

>

>Isso resulta em

>

>b+2a = -3 -> b = -3 - 2a        (I)

>2ab+a^2 = -2                       (II)

>d = - a^2b                            (III)

>

>Substituindo b (I) em (II)

>

>2a(-3-2a) + a^2 = -2

>

>para a pertencente a ]0,1[

>a = (SQRT(15)-3)/3

>

>b = (-3 -2*sqrt(15))/3

>

>e d = - a^2b

>logo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9

>

>Agradeço antecipadamente pela ajuda.

>

>J.Renan

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html

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