[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Sun, 22 Oct 2006 11:22:23 -0200
Assunto: [obm-l] Demonstração

>     Bom dia a todos!
> 
>     Como posso demonstrar que 2^p + 3^p, onde p é primo, somente pode ser n^1, onde n é natural. Isto é, não pode ser n^2 ou 
n^3 ou...
> 

Para p = 2, o resultado eh obvio, pois 2^2 + 3^2 = 13 = 13^1.

Assim, suponhamos que p >= 3 e que 2^p + 3^p = n^k, para algum n natural e algum k >= 2.

Como p eh impar, existe a fatoracao:
n^k = 2^p + 3^p = (2 + 3)(2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 + ... + 3^(p-1)) ==>
5 divide n^k ==> 
5 divide n ==> 
5^k divide n^k ==> 
5^k divide 2^p + 3^p ==>
5^(k-1) divide 2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2 + ... + 3^(p-1) ==>

como, por hipotese, k >= 2,
2^(p-1) + 2^(p-2)*3 + 2^(p-3)*3^2+ ... + 3^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1) + 2^(p-2)*(-2) + 2^(p-3)*(-2)^2 + ... + (-2)^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1)*(1 - 1 + 1 - ... + (-1)^(p-1)) == 0 (mod 5) ==>
2^(p-1)*1 = 2^(p-1) == 0 (mod 5) ==>
contradicao.

Logo, k nao pode ser >= 2.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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