[obm-l] Re: Re: [obm-l] Dúvidas

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Uma solucao com um pouco menos de contas pode ser obtida se observarmos que 1, 3, 4 e 6 estao dispostos simetricamente em torno 
de 7/2.
Assim, seja b = a - 7/2 ==> a = b + 7/2 ==>
a - 1 = b + 5/2
a - 3 = b + 1/2
a - 4 = b - 1/2
a - 6 = b - 5/2
Multiplicando e somando 10, obtemos:
f(a) = (b^2 - 25/4)(b^2 - 1/4) + 10 = b^4 - (13/2)b^2 + 185/16
Completando o quadrado:
f(a) = b^4 - 2*(13/4)b^2 + 169/16 + 1 = (b^2 - 13/4)^2 + 1 
Logo, f(a) >= 1, com igualdade <==> b = +/-raiz(13)/2 <==> a = (7 +/- raiz(13))/2

***

No outro problema:

c = -(a+b) ==>

c^2 = a^2 + b^2 + 2ab ==>
a^2+b^2+c^2 = 2(a^2+b^2+ab)

c^3 = -(a^3 + b^3 + 3ab(a+b)) ==>
a^3+b^3+c^3 = -3ab(a+b)

Logo:
(a^2+b^2+c^2)/2 * (a^3+b^3+c^3)/3 = -ab(a+b)(a^2+b^2+ab)  (*)

===

c^5 = -(a^5 + b^5 + 5ab(a^3 + b^3) + 10a^2b^2(a+b)) ==>
a^5+b^5+c^5 = -5ab(a^3 + b^3 + 2ab(a+b)) = 
  -5ab((a+b)(a^2-ab+b^2) + 2ab(a+b)) =
  -5ab(a+b)(a^2+ab+b^2) ==>

(a^5+b^5+c^5)/5 = -ab(a+b)(a^2+ab+b^2)  (**)

Comparando (*) e (**), acabou.
   
[]s,
Claudio.


---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sat, 21 Oct 2006 01:52:22 -0300 (ART)
Assunto: Re: Re: [obm-l] Dúvidas

> 1)
>    
>   f(a) = ( a - 1 )( a - 3 )( a - 4 )( a - 6 ) + 10
>   desenvolvendo;
>    
>   ( a - 1 )( a - 6 ) = ( a^2 - 7a + 6 )
>   ( a - 3 )( a - 4 ) = (a^2 - 7a + 12)
>    
>   f(a) = 10 + ( a^2 - 7a + 6 ) x (a^2 - 7a +12 )
>    
>   desenvolvendo;
>    
>   f(a) = 10 + [ ( a^2 - 7a )( a^2 - 7a ) + 18 ( a^2 - 7a ) + 72 ]
>    
>   agrupando temos;
>   f(a) = [ ( a^2 - 7a ) + 9 ]^2 + 1 podemos arrumar mais um pouco, mas já está provado que para qualquer Va E R f(a)>0
>    
>   arrumando só um pouco;
>   f(a) = [ ( a - 3 )^2 - a ]^2 + 1
>    
>   1.1) Uma coisa engraçada... ao resolver eu fui buscar o mínimo da função encontrando o valor de "a" que torna a função mínima. 
Fazendo df(a)/da = 0; estudo do sinal da função, descobrir ponto de máximo e de mínimo e por ai vai...
>    
>   mas meu anjo da guarda me avisou que f(a) = [ ( a - 3 )^2 - a ]^2 + 1; o menor valor que a expressão em negrito pode ter para a E 
R é zero. Sendo assim o menor valor de f(a) = 1.
>    
>   Resp: menor valor de f(a) = 1
>    
>   Atenciosamente,
>    
>   André Sento Sé Barreto
>    
>   PS: Espero ter ajudado de alguma forma
>   

[...]

> > --- Ramon Carvalho escreveu:
> >
> > > 1) Provar que (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 é sempre
> > > positivo para a E R
> > > 1.1) Achar o menor valor dessa função
> > >
> > > 2 ) Se a+b+c = 0, Provar que (a^5 + b^5 +c^5)/5 =
> > > (a^3 + b^3 + c^3)/3 .
> > > (a^2 + b^2 + c^2)/2
> > >
> > > Estou com problemas nessas questões, qualquer ajuda
> > > seria bem vinda
> > >
> > >
> > > Desde já, grato
> > >
> >
> >


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