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Re: [obm-l] Trigonometria - O retorno de Jedi?
Bem, como este exercício está rendendo, pro pessoal de segundo grau
ai vai a solucao padrao...
Pressupõe-se que conheçam as igualdades básicas
cos p + cos q = 2cos(p+q)/2 . cos(p-q)/2
cos p - cos q = -2sen (p+q)/2 . sen(p-q)/2
e 1 - cosp = 2.(sen p/2)^2
Provar que cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 + 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
onde a+b+c = 180
Partindo de cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 , vem:
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = [cos(a) + cos(b)] - [1 - cos(c)]
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = [2cos (a+b)/2 . cos(a-b)/2
] - [ 2(sen c/2) ^2 ]
Como (a+b)/2 = 90-(c/2), segue-se que tais arcos são complementares;
logo, cos(a+b)/2 = sen c/2
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = 2 sen c/2 [ cos(a-b)/2 -
cos (a+b)/2 ]
cos (a) + cos(b) + cos (c) -1 = 2 sen c/2 . [-2 sen (2a)/2
. sen (-2b)/2]
Dai, igualdade provada..
Nehab
At 22:09 16/10/2006, you wrote:
>Oi gente, agora que tenho um tempinho posso escrever a
>outra solução.
>
>Considere um triângulo com ângulos internos A/2, B/2 e
>90 + C/2. Pela Lei dos Senos, se o circunraio do
>triângulo é 1/2, seus lados medem sen(A/2), sen(B/2) e
>sen(90+C/2) = cos(C/2). Pela Lei dos Co-senos,
> cos^2(C/2) = sen^2(A/2) + sen^2(B/2)
> - 2sen(A/2)sen(B/2)cos(90+C/2)
>
>Como cos(90+C/2) = -sen(C/2), cos^2(x/2) = (1+cosx)/2
>e sen^2(x/2) = (1-cosx)/2, obtemos
> (1+cos C)/2 = (1-cos A)/2 + (1-cos B)/2
> + 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2)
>e aí é só mexer na continha acima para chegar ao
>resultado.
>
>[]'s
>Shine
>
>--- Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net> wrote:
>
> > Oi, Luiz e Eduardo,
> >
> > Ué ! não gostei :-( !!! Achei a solução sugerida
> > inadequada !!! Não entendi o mérito da solução NÃO
> > usar \sum tan
> > = \prod tan mas usar 4 relações que dependem de
> > muito mais
> > conhecimento que a referida relação entre as
> > tangentes.
> >
> > Aliás, a solução que eu sugeri (que não tem nada
> > que haver com as
> > duas anteriores) não possui nenhum mérito, é
> > absolutamente clássica e
> > está em qq livro de trigonometria. Mas não entendo
> > porque vocês
> > acharam a relação r = S/s =
> > 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2) mais
> > simples que a relação entre as tangentes,
> > demonstrável em 3 linhas e
> > que usa apenas conhecimento primário de
> > trigonometria !
> >
> > Abraços,
> > Nehab
> >
> > At 11:02 16/10/2006, you wrote:
> > >Sauda,c~oes,
> > >
> > >Mandei este problema para o Eduardo, o outro autor
> > do
> > >Manual de Trigonometria 2a. ed, com a solução acho
> > que
> > >do Nehab para fazer parte do livro. E ele veio com
> > esta
> > >nova solução. Acho que o Morgado teria gostado de
> > >ambas.
> > >
> > >Fui aluno dele no ano 1971, no vestibular do Curso
> > Vetor.
> > >Dava aulas de combinatória (foi aí que comecei a
> > entender
> > >a diferença entre combinações e permutações),
> > números
> > >complexos e polinômios. Atribuo a ele e suas
> > apostilas meu
> > >descobrimento de uma matemática interessante,
> > diferente
> > >do que havia visto até então. Tive muita sorte em
> > tê-lo
> > >tido como professor.
> > >
> > >[]'s
> > >Luís
> > >
> > >P.S.: imagino que a RPM, SBM, FGV, IMPA etc farão
> > algum
> > >necrológio escrito para ele. Sugiro que as
> > declarações nas
> > >mensagens desta lista façam parte dele.
> > >
> > >
> > >On Monday 09 October 2006 09:58, you wrote:
> > >cos(a) + cos(b) + cos(c) = 1 +
> > 4*sen(a/2)*sen(b/2)*sen(c/2)
> > >com a + b + c =180° (angulos internos de um
> > triangulo)
> > >
> > >Oi Luís,
> > >
> > >Sei que é feriadão. É só pra dizer que realmente
> > sai como falei,
> > >mas sem precisar usar que \sum tan = \prod tan.
> > >
> > >Sejam (A, B, C) ângulos e (a, b, c) lados de um
> > triângulo T.
> > >Sabe-se que:
> > >1. Lei dos co-senos: a² = b² + c² - 2bc cosA;
> > (análogo para B e C)
> > >2. Heron: S² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2;
> > >3. raio do círculo circunscrito a T: R = abc/4S
> > >raio do círculo inscrito em T: r = S/s =
> > 4Rsen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
> > >Prova:
> > >cos A + cos B + cos C =
> > >(b² + c² - a²) / 2bc + (a² + c² - b²) / 2ac + (a² +
> > b² - c²) / 2ab =
> > >[2abc + 8(s-a)(s-b)(s-c)] / 2abc = 1 +
> > 4(s-a)(s-b)(s-c) =
> > >1 + r / R = 1 + 4sen(A/2)*sen(B/2)*sen(C/2)
> > Q.E.D.
> > >
> > >(referência utilizada: Manual de Trigonometria,
> > Luís Lopes)
> > >
> > >Manda pra lista.
> > >
> > >Inté+,
> > >
> > >Edu.
> > >
> >
> >_________________________________________________________________
> > >MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.
> > http://www.hotmail.com
> > >
> >
> >=========================================================================
> > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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>Do You Yahoo!?
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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