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Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
Oi Rogério,
não era de hoje que eu implorava por alguma solução.
Não sei se os outros não gostaram ou não tiveram saco para ir até ao final, mas eu li agora sua demonstração e gostei bastante.
Muito obrigado!
---------- Início da mensagem original -----------
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cc:
Data: Wed, 20 Sep 2006 01:14:08 +0000 (GMT)
Assunto: Re: [obm-l] Triangulo Equilatero
>
> Ola' amigos,
> vamos ao problema do triangulo equilatero, em sua versao final (espero) !
>
> Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM
> com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,
> tambem for equilatero.
>
>
> OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas,
> e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas.
> Alem disso, os simbolos =< e >= assumirao o significado de
> "menor ou igual" e "maior ou igual".
> Tambem usarei "*" em lugar de "graus" , na medida de alguns angulos.
>
>
> Bem, primeiramente, relembremos algumas propriedades intuitivas,
> a respeito de triangulos.
>
> ----Teorema 1----
> Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z.
> Entao, o angulo X e' maior que o angulo Y se, e somente se,
> o lado x e' maior que o lado y.
> -----------------------
>
> Reescrevendo isso:
> (X>Y) <--> (x>y)
>
> Provemos a ida "(X>Y) --> (x>y)" :
> Seja X>Y . Entao,
> a) suponhamos X =< 90* :
> entao Y < X =< 90*
> Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) < sin(X).
> Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y < x.
>
> b) suponhamos X > 90* :
> entao Y < 180* - X < 90*
> Como o seno e' crescente no primeiro quadrante,
> sin(Y) < sin(180* - X) = sin(X).
> Portanto, pela lei dos senos, y < x.
>
> Para provar "a volta", (x>y) --> (X>Y) , basta usarmos a contrapositiva,
> isto e', (p --> q) <--> (~q --> ~p) . Em outras palavras, basta provarmos
> que (X =< Y) --> (x =< y)
>
> Usando a "ida", com letras invertidas, temos que (X<Y) --> (x<y) .
> E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) --> (x=y).
> Assim, o teorema esta' demonstrado.
>
> Observe que a "volta" tambem poderia ser provada usando-se
> uma argumentacao semelhante 'a da "ida".
>
>
> ----Teorema 2----
> Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que
> x e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior ou igual a y.
> Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z.
>
> ( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo)
> -----------------------
>
> Suponhamos x e y constantes, e que x>y.
> Pelo teorema.1, X >= Y.
>
> Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja,
> x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) .
> Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui.
> Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta.
> Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta (se e somente se).
> Chamemos este resultado de "propriedade 3".
>
> Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja,
> z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X)
> Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da igualdade aumenta.
> Mas a primeira parcela da direita diminui (ou permanece igual a zero,
> no caso de x=y), e, portanto, a segunda parcela tem que aumentar.
> Como y e' constante, cos(X) e' que aumenta, de forma que
> necessariamente X diminui.
> Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se).
>
> Chamemos este resultado de propriedade 3 (formalizada no teorema 3).
>
> Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta.
> Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se).
>
> Assim, o teorema 2 esta' demonstrado.
> Dele, decorrem os seguintes corolarios:
>
> -----------------------
> Corolario 2a
> Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados
> correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1>y1,
> entao X1>X2 se e somente se Z1<Z2 .
> -----------------------
> Corolario 2b
> Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados
> correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1>y1,
> entao X1=X2 se e somente se Z1=Z2 .
> -----------------------
>
>
> ----Teorema 3----
> Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que
> x e y tenham comprimentos constantes. Entao, o angulo Z varia no
> mesmo sentido que a variacao do lado z.
> (o lado z aumenta 'a medida em que o angulo Z aumenta, por exemplo)
> -----------------------
>
> O teorema 3 e' consequencia da "propriedade 3", apontada na
> demonstracao anterior. E dele, tiramos os seguintes corolarios:
>
> -----------------------
> Corolario 3a
> Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados
> correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 ,
> entao Z1>Z2 se e somente se z1>z2 .
> -----------------------
> Corolario 3b (...desculpem-me pela obviedade)
> Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados
> correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 ,
> entao Z1=Z2 se e somente se z1=z2 .
> -----------------------
>
>
>
> Vamos agora ao problema original:
>
> Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM
> com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,
> tambem for equilatero.
>
> Demonstracao:
>
> Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscrito
> em ABC, conforme o enunciado.
> Seja "p" o comprimento de AK=BL=CM, e "t" o lado do triangulo KLM.
> Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C.
> Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML.
> Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC.
> Sejam "a", "b" e "c" os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente.
> (repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p)
>
> Sem perda de generalidade, seja A1 >= B1 >= C1 (ineq.1)
>
> Entao, pelo teo.1, a+p >= b+p >= c+p , de onde
> a >= b >= c
> e portanto, pelo corol.3,
> C2 >= A2 >= B2 (ineq.2)
>
>
> Assim, suponhamos primeiramente que t>=p
> Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C1 (teo.2),
> e podemos dizer que
> C1 =< A1 =< B1 (corol.2)
> Mas, da ineq.1, sabemos que A1 >= B1 , logo A1=B1.
> Entao, pelo corol.2, A2=B2, o que obriga A3=B3.
> Mas C2 = 180* - 60* - A3
> e A2 = 180* - 60* - B3
> de forma que C2=A2, e, pelo corol.2, C1=B1.
> Assim, A1=B1=C1, e o triangulo ABC e' equilatero.
>
> Agora, suponhamos que t<p
> Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C3 (teo.2),
> e podemos dizer que
> C3 =< A3 =< B3 (corol.2)
> Logo, 120* -C3 >= 120* -A3 >= 120* -B3 , ou seja,
> B2 >= C2 >= A2
> Assim, pela ineq.2, C2=B2 e A2=B2 , de onde A2=B2=C2,
> que implica em A1=B1=C1 (angulo igual entre lados iguais),
> de forma que o triangulo ABC e' equilatero.
>
> Mas t>=p ou t<p.
> Portanto, o triangulo ABC e' equilatero.
>
>
> Abracos a todos,
> Rogerio Ponce.
>
>
> PS: para quem nao "pescou" que o teorema 2 e' realmente intuitivo,
> sugiro o seguinte:
>
> Trace uma base ZY. Qual o lugar geometrico do vertice X?
> E' uma semi circunferencia (de zero a pi, ou seja, a "metade de cima"
> da circunferencia), com centro em Z, e raio y, menor que ZY.
>
> Agora, fazendo o ponto X "caminhar" sobre a circunferencia (isto e',
> aumentando-se o angulo X), e tracando-se XZ e XY, devera' ser facil
> perceber a relacao apontada entre os angulos X e Z.
>
>
>
>
>
> "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu: E aquela de provar que triangulo ABC eh equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, com AK = BL = CM eh equilatero?
>
> O Ponce disse que tem uma solucao de nivel 4o. ginasial (8a. serie pra quem tem menos de 40 anos...) e o Nehab uma usando rotacao. Vamos ve-las!
>
> []s,
> Claudio.
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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