Re: [obm-l] Triangulo Equilatero

[Rogerio Ponce <rogerioponce-obm@xxxxxxxxxxxx>]

Ola' amigos,
vamos ao problema do triangulo equilatero, em sua versao final (espero) !

Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM
com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,
tambem for equilatero.


OBS: em todo o texto, os angulos estarao em letras maiusculas,
e os segmentos (ou lados de triangulos), em minusculas.
Alem disso, os simbolos =< e >= assumirao o significado de
"menor ou igual" e "maior ou igual".
Tambem usarei "*" em lugar de "graus" , na medida de alguns angulos.


Bem, primeiramente, relembremos algumas propriedades intuitivas,
a respeito de triangulos.

----Teorema 1----
Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z.
Entao, o angulo X e' maior que o  angulo Y se, e somente se,
o lado x e' maior que o lado y.
-----------------------

Reescrevendo isso:
(X>Y) <--> (x>y)

Provemos a ida "(X>Y) -->
 (x>y)" :
Seja X>Y . Entao,
a) suponhamos X =< 90* :
   entao Y < X =< 90*
   Como o seno e' crescente no primeiro quadrante, sin(Y) < sin(X).
   Mas pela lei dos senos, sin(X)/x = sin(Y)/y. Portanto, y < x.

b) suponhamos X > 90* :
   entao Y < 180* - X < 90*
   Como o seno e' crescente no primeiro quadrante,
   sin(Y) < sin(180* - X) = sin(X).
   Portanto, pela lei dos senos, y < x.

Para provar "a volta", (x>y) --> (X>Y) , basta usarmos a contrapositiva,
isto e', (p --> q) <--> (~q --> ~p) . Em outras palavras, basta provarmos
que (X =< Y) --> (x =< y)

Usando a "ida", com letras invertidas, temos que (X<Y) --> (x<y) .
E, usando-se a lei dos senos, e' trivial que (X=Y) --> (x=y).
Assim, o teorema esta' demonstrado.

Observe que a "volta" tambem poderia ser provada
 usando-se
uma argumentacao semelhante 'a da "ida".


----Teorema 2----
Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que
x e y tenham comprimentos constantes, e que x seja maior ou igual a y.
Entao, o angulo X varia em sentido oposto 'a variacao do angulo Z.

( 'a medida em que o angulo Z aumenta, o angulo X diminui, por exemplo)
-----------------------

Suponhamos x e y constantes, e que x>y.
Pelo teorema.1,  X >= Y.

Pela lei dos cossenos, z^2 = x^2 + y^2 - 2xycos(Z), ou seja,
x^2 + y^2 = z^2 + 2xycos(Z) .
Como x e y sao constantes, entao quando z aumenta, cos(Z) diminui.
Mas cos(Z) diminui quando Z aumenta.
Portanto, quando z aumenta, Z tambem aumenta  (se e somente se).
Chamemos este resultado de "propriedade 3".

Tambem, pela lei dos cossenos, x^2 = y^2 + z^2 - 2zycos(X) , ou seja,
 z = (x^2 - y^2)/z + 2ycos(X)
Portanto, quando z aumenta, o lado esquerdo da
 igualdade aumenta.
Mas a primeira parcela da direita diminui (ou permanece igual a zero,
no caso de x=y), e, portanto, a segunda parcela tem que aumentar.
Como y e' constante, cos(X) e' que aumenta, de forma que
necessariamente X diminui.
Portanto, quando z aumenta, X diminui (se e somente se).

Chamemos este resultado de propriedade 3 (formalizada no teorema 3).

Mas lembre-se de que z aumenta quando Z tambem aumenta.
Logo, quando Z aumenta, X diminui (se e somente se).

Assim, o teorema 2 esta' demonstrado.
Dele, decorrem os seguintes corolarios:

-----------------------
Corolario 2a
Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados
correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 e x1>y1,
entao  X1>X2 se e somente se Z1<Z2 .
-----------------------
Corolario 2b
Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados
correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 ,
 y1=y2 e x1>y1,
entao  X1=X2 se e somente se Z1=Z2 .
-----------------------


----Teorema 3----
Seja um triangulo de vertices X,Y,Z com lados opostos x,y,z, tais que
x e y tenham comprimentos constantes. Entao, o angulo Z varia no
mesmo sentido que a variacao do lado z.
(o lado z aumenta 'a medida em que o angulo Z aumenta, por exemplo)
-----------------------

O teorema 3 e' consequencia da "propriedade 3", apontada na
demonstracao anterior. E dele, tiramos os seguintes corolarios:

-----------------------
Corolario 3a
Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados
correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 ,
entao  Z1>Z2 se e somente se z1>z2 .
-----------------------
Corolario 3b (...desculpem-me pela obviedade)
Em dois triangulos com angulos X1,Y1,Z1 e X2,Y2,Z2 , e lados
correspondentes x1,y1,z1 e x2,y2,z2 , se x1=x2 , y1=y2 ,
entao  Z1=Z2 se e
 somente se z1=z2 .
-----------------------



Vamos agora ao problema original:

Prove que o triangulo ABC e' equilatero quando o triangulo KLM
com K em AB, L em BC e M em CA, tal que AK = BL = CM,
tambem for equilatero.

Demonstracao:

Seja o triangulo ABC, com o triangulo equilatero KLM inscrito
em ABC,  conforme o enunciado.
Seja "p" o comprimento de AK=BL=CM, e "t" o lado do triangulo KLM.
Chamemos de A1, B1 e C1 os angulos dos vertices A,B e C.
Chamemos de A2, B2 e C2 os angulos AKM, BLK e CML.
Chamemos de A3, B3 e C3 os angulos KMA, LKB e MLC.
Sejam "a", "b" e "c" os comprimentos de LC, MA e KB, respectivamente.
(repare que AB=c+p , BC=a+p e CA=b+p)

Sem perda de generalidade, seja A1 >= B1 >= C1 (ineq.1)

Entao, pelo teo.1, a+p >= b+p >= c+p , de onde
a >= b >= c
e portanto, pelo corol.3,
C2 >= A2 >= B2 (ineq.2)


Assim, suponhamos primeiramente que
 t>=p
Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C1 (teo.2),
e podemos dizer que
C1 =< A1 =< B1  (corol.2)
Mas, da ineq.1, sabemos que A1 >= B1 , logo A1=B1.
Entao, pelo corol.2, A2=B2, o que obriga A3=B3.
Mas C2 = 180* - 60* - A3
e A2 = 180* - 60* - B3
de forma que C2=A2, e, pelo corol.2, C1=B1.
Assim, A1=B1=C1, e o triangulo ABC e' equilatero.

Agora, suponhamos que t<p
Entao, C2, por exemplo, varia no sentido contrario a C3 (teo.2),
e podemos dizer que
C3 =< A3 =< B3  (corol.2)
Logo, 120* -C3 >= 120* -A3 >= 120* -B3 , ou seja,
B2 >= C2 >= A2
Assim, pela ineq.2, C2=B2 e A2=B2 , de onde A2=B2=C2,
que implica em A1=B1=C1 (angulo igual entre lados iguais),
de forma que o triangulo ABC e' equilatero.

Mas t>=p ou t<p.
Portanto, o triangulo ABC e' equilatero.


Abracos a todos,
Rogerio Ponce.


PS: para quem nao "pescou" que o
 teorema 2 e' realmente intuitivo,
sugiro o seguinte:

Trace uma base ZY. Qual o lugar geometrico do vertice  X?
E' uma semi circunferencia (de zero a pi, ou seja, a "metade de cima"
da circunferencia), com centro em Z, e raio y, menor que ZY.

Agora, fazendo o ponto X "caminhar" sobre a circunferencia (isto e',
aumentando-se o angulo X), e tracando-se XZ e XY, devera' ser facil
perceber a relacao apontada entre os angulos X e Z.





"claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:

E aquela de provar que triangulo ABC eh equilatero quando o triangulo KLM com K em AB, L em BC e M em CA, com AK = BL = CM eh equilatero?

 

O Ponce disse que tem uma solucao de nivel 4o. ginasial (8a. serie pra quem tem menos de 40 anos...) e o Nehab uma usando rotacao. Vamos ve-las!

 

[]s,

Claudio.

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