Re: [obm-l] Provar que um conjunto contem uma bola aberta

[<rlalonso@xxxxxxxxxx>]

>Boa noite


>Estou estudando um pouco de teoria de medidas, ainda estou bem no começo. Vi 
>uma afirmaçao e não consegui provar, nem encontrei a prova (talvez esteja fora 
>de meu alcance): Se A é um conjunto de R^n com medida de Lebesgue positiva, 
>entao A - A = {x - y | x e y estao em A} contem uma bola aberta de centro na 
>origem.
   
     Fica mais fácil pensar primeiro em exemplos e generalizar depois.
   Suponha primeiro que o conjunto seja limitado (poderia ser ilimitado,
   mas deixa isso para pensar depois). 
  Considere então retângulo no plano de coordenadas (2,3) (4,3) (2,4)
(4,4).
  Tome x e y como sendo esses pontos (que são pontos de coordenadas
máximas
  ou mínimas).
  
    (2,3) - (4,3) = (-2,0)
    (2,3) - (2,4) = (0,-1)
    (4,3) - (4,4) = (0,-1)
    (2,4) - (4,4) = (-2,0)
    (4,3) - (2,3) = (2,0)
    (2,4) - (2,3) = (0,1)
    (4,4) - (4,3) = (0,1)
    (4,4) - (2,4) = (2,0)

    Ok. Agora os pontos de máxima ou mínima  são (-2,0) (2,0) (0,-1) (0,1)

  Como vc pode observar esse retângulo contém a origem.
     Nesse exemplo o centro do retângulo vai parar na origem. Mas e se o 
conjunto não for um retângulo?  Vc pode envolvê-lo num retângulo no caso
bidimensional.  Uma idéia para generalizar para dimensões maiores é chamar
o retângulo de "caixa".  Daí vc sempre envolve o conjunto numa caixa e
o centro da caixa vai parar na origem quando vc faz as diferenças de
pontos.
   Hmmm... Mas para isso o conjunto tem que ser limitado. E tem que ter
medida de Lebesgue positiva.  Suponha que o conjunto do plano seja um
fractal (imagine um floco de neve, por exemplo, que tem medida de Lebesgue
zero).  Vc pode colocar o floco de neve dentro de uma caixa no plano, e
depois da diferença de pontos o ponto que vai parar na origem pode não
estar no conjunto.  Além disso, mesmo que esteja, pode ser um segmento
de reta por exemplo.  
    

>     Também ouvi dizer que conjuntos nâo mensuráveis so podem ser obtidos com 
>o axioma da escolha. Isso é verdade? Se for, isto significa que conjuntos não 
>mensuráveis existem em tese, virtualmente, mas não tem exstência, assim, 
>real, concreta? (real aqui no sentido que a palavra tem no uso diário, não no 
>sentido de número real).

   Parece que sim.  
   Dá uma olhada nisso:

   http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

  Parece bizarro não é?  Não consegui entender direito ...


Ronaldo.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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