RES: [obm-l] Provar que um conjunto contem uma bola aberta

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Oi Sandra

Vamos ver primeiro o caso de A - A. Eu conheço uma prova (deve haver
outras). Exige um pouquinho mais que os fundamentos da t. de medidas e
alguns conhecimentos básicos de espaços métricos, no caso o R^n.
Precisaremos dos seguintes conhecimentos, vários apresentados como teoremas
em livros sobre T. de Medidas. Vou tentar, nao tenho um livro aqui, pode ser
que me enrole no meio, aih fica pra depois. 

Precisamos das seguintes conclusoes, todas relativas a R^n e aa medida de
Lebesgue

1) Espacos metricos.
A distância entre  dois conjuntos A e B de R^n é definida por d(A,B) =
infimo{|a - b| | a estah em A, b estah em B}. Temos que:
1.1 - Se A e B sao disjuntos, A eh compacto e B eh fechado, entao d(A,B) >0 
1.2 - Se |x| < d(A,B), entao a translacao x + A = {x + a | a estah em A} nao
intersecta B

2) T. de Medidas (aproximacao de conjuntos mensuraveis) m = medida de
Lebesgue. Os simbolos > e <, quando usados para conjuntos, significam
inclusao (propria ou nao)
2.1 Se A eh mensuravel e m(A) < oo, entao para todo eps >0 existe um aberto
G > A tal que m(G) < m(A) + eps
2.2 Se A eh mensuravel e 0 < m(A) < oo, entao A contem um compacto K com
m(K) > 0

3) T. de Medidas. Além dos fundamentos, utilizaremos as seguintes
propriedades, muito conhecidas, da medida de Lebesgue m.
3.1 m eh invariante com relacao a translacoes, isto eh, se A eh mensuravel,
entao, para todo x de R^n,  x + A tambem eh e m(x + A) = m(A).
3.2 m eh semifinita, isto eh, R^n eh dado por uma uniao enumeravel de
conjuntos com medida finita (exemplo: Colecao de bolas  abertas ou fechadas,
centradas na origem e com raios n =1,2,3 ...).  
3.3 Todo subconjunto mensuravel de R^n eh sigma-finito, isto eh, eh dado por
uma uniao enumeravel de conjuntos com medida finita (basta tomar a colecao
das interseccoes com o conjunto das bolas do exemplo anterior).
3.4 Conjuntos compactos sao mensuraveis e tem medida finita

Para demostrarmos o teorema, vejamos antes o seguinte lema:
Se A eh mensuravel e m(A) > 0 (ainda que oo), entao A contem um compacto K
com m(K) > 0.
Prova: Conforme vimos, A eh dado por uma uniao enumeravel {E_k} de conjuntos
com medida finita. Por sub-aditividade, temos m(A) <= Soma(k >=1) m(E_k).
Como m(A) >0, para pelo menos um E_k temos m(E_k) >0. De (2.2), concluimos
que E_k - e, portanto, A - contem um compacto K com m(K) > 0.

Dado que K < A => K - K < A - A, concluimos do lema que, para demonstrar o
teorema, basta considerar o caso de compactos K com m(K) >0. Eh o que vamos
ver agora.

Temos que m(K) < oo (3.4). Aplicando-se (2.1) a K com eps = m(K) >0, obtemos
um aberto G > K com m(G) < 2 m(K). Os conjuntos K e G' (complementar de G)
sao, respectivamente, um compacto e um fechado que nao se intersectam, de
modo que (1.1) r = d(K, G') > 0. Sendo B a bola aberta de centro na origem e
raio r, para todo x pertencente a B temos entao que:

a) x + K < G
Como |x| < r, segue-se de (1.2) que x + K nao intersecta G', o que equivale
a dizer que x + K < G

b) Os conjuntos K e  x + K se intersectam
Como K < G, segue-se de (a) que K  Uniao (x + K) < G. Pela monotonicidade de
m, temos m(K  Uniao (x + K)) <= m(G) < 2m(K). Se K e x + K forem disjuntos,
a aditividade de m a sua invariancia com relacao a translacoes implica entao
que m(K  Uniao (x + K)) = m(K) + m(x + K) = m(K) + m(K) = 2m(K),
contrariando a conclusao anterior segundo a qual m(K  Uniao (x + K)) <
2m(K).  
Desta contradicao, concluimos que K e x + K se intersectam.

c) x pertence a K - K
De (b), segue-se que existe um elemento k1 que pertence a K e a x + K. Desta
ultima pertinencia, segue-se que existe k2 em K   
tal que k1 = x + k2 => x = k1 - k2. Como k1 e k2 estao ambos em K,
concluimos que x pertence a K - K.

Finalmente, como (c) vale para todo elemento de B, concluimos que B < K - K,
ficando assim completa a demonstracao do teorema.

Podemos tambem mostra que A + A contem uma bola aberta, mas a prova que
conheco eh bem diferente desta. Acho que esta linha de argumentos nao se
aplica o caso de A + A.

De uma conferida na prova, posso ter cometido algum engano.


Artur


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Sandra
Enviada em: quinta-feira, 21 de setembro de 2006 19:33
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Provar que um conjunto contem uma bola aberta



Boa noite

Estou estudando um pouco de teoria de medidas, ainda estou bem no começo. Vi
uma afirmaçao e não consegui provar, nem encontrei a prova (talvez esteja
fora de meu alcance): Se A é um conjunto de R^n com medida de Lebesgue
positiva, entao A - A = {x - y | x e y estao em A} contem uma bola aberta de
centro na origem.

Alguem conhece esta demonstração? Exige conhcimentos muito avançados? Eu sei
que ela e usada para demonstrar que existem conjuntos não mensuraveis em
R^n. Esta demonstracao tambem eh muito complicada?

Também ouvi dizer que conjuntos nâo mensuráveis so podem ser obtidos com o
axioma da escolha. Isso é verdade? Se for, isto significa que conjuntos não
mensuráveis existem em tese, virtualmente, mas não tem exstência, assim,
real, concreta? (real aqui no sentido que a palavra tem no uso diário, não
no sentido de número real).

Obrigada.

Sandra




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