[obm-l] RE: [obm-l] Olimpíada Paulista 2005

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Maria Cristina e demais
colegas desta lista ... OBM-L,


Num caso simples como o que voce apresenta me parece ser mais facil resolver 
sem inteligencia, por FORCA BRUTA, considerando o caso concreto ...

(a) IMAGINE o seguinte contexto : um dos clubes vence os seus tres jogos e 
todos os outros jogos terminam empatados.  a fase classificatoria terminara 
com um clube com 9 pontos e os demais com dois pontos cada um. Por sorteio 
um destes tres estara classificado para a grande final. Assim, com 2 pontos 
e possivel se classificar para a final.

Com 1 ponto e claramente impossivel participar da final, pois tal pontuacao 
so e possivel com um empate e duas derrotas. Logo, neste caso, ao final da 
fase classificatoria, havera - ao menos - dois outros clubes com - pelo 
menos - 3 pontos cada um.

Resposta : 2 pontos

(b) Suponha que os clubes sao C1, C2, C3 e C4. Agora, IMAGINE o seguinte 
contexto : O clube C1 vence C2, o clube C2 vence C3 e o clube C3 vence C1. O 
clube C4 perde todos os seus jogos. No final havera 3 clubes com 6 pontos e 
um com 0 pontos. Por sorteio, dois clubes irao para a final. Logo, um clube 
com 6 pontos pode nao estar na final.

Com 7 pontos e impossivel nao estar na final, pois  tal pontuacao so e 
possivel com duas vitorias e um empate. Logo, neste caso, ao final da fase 
classificatoria, havera - ao menos -  dois clubes com - pelo menos - 3 
pontos perdidos cada um e, portanto, abaixo do clube com 7 pontos ( que tem 
apenas 2 pontos perdidos ! )

Resposta : 6 pontos

E claro que uma linha de pensamento nestes termos e altamente insatisfatoria 
e seria impraticavel se o numero de clubes fosse grande. Como proceder num 
caso assim ?

PROBLEMA : Num campeonato com N clubes quaisquer dois clubes se enfrentarao 
um unica vez. Numa partida qualquer, o vencedor ganha 3 pontos e havendo 
empate sera concedido 1 ponto para cada equipe ( o perdedor nao ganha ponto 
).  Classificam-se para a proxima fase os P ( P < N/2 ) clubes que 
terminarem com melhor pontuacao. Pergunta-se :

1) ( Antes de comecar a competicao ) Qual a pontuacao minima que garante a 
classificacao ?
2) ( Na M-esima rodada ) Suponha conhecidos os resultados ate a rodade M-1. 
Qual a pontuacao
minima que garante a classificacao ?

Dica1 : Comece pensando com N par. Resolvido este caso, suponha uma equipe 
ficticia X que sempre joga com o clube que fica SEM PAR em toda rodada 
quando N e impar.

Dica2 : Em termos combinatorios, uma derrota e equivalente a dois empates 
...

Um Abraco a Todos
Paulo Santya Rita
3,1452,150806



>From: Maria Cristina Dias Tavares <cristina@dsce.fee.unicamp.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Olimpíada Paulista 2005
>Date: Tue, 15 Aug 2006 11:03:55 -0300
>
>Bom dia,
>
>    estava preparanda minha filha para a prova deste sábado e não consegui 
>um método rápido para resolver o problema abaixo. A solução ficou extensa. 
>Alguém teria uma sugestão mais direta ?
>
>    Obrigada,
>
>          Maria Cristina
>
>Na Microlândia, há quatro times de futebol. O regulamento do campeonato 
>microlandense de futebol, ou como é chamado carinhosamente pelos seus 
>habitantes, o Microlandião, é o seguinte: na fase classificatória, cada um 
>dos quatro times joga com todos os outros três exatamente uma vez. Em cada 
>jogo, uma vitória vale 3 pontos, um empate vale 1 ponto e uma derrota vale 
>zero ponto. As duas equipes que conseguirem as maiores quantidades de 
>pontos são classificadas para a grande final do Microlandião. Caso seja 
>necessário, há um sorteio para definir as equipes classificadas. Por 
>exemplo, se os times têm 9, 4, 4 e 0 pontos, respectivamente, há um sorteio 
>para definir a segunda equipe que participará da final.
>(a) Qual é a menor pontuação possível de uma equipe classificada para a 
>final?
>(b) Qual é a maior pontuação possível de uma equipe que não foi 
>classificada para a final?

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