RE: [obm-l] Produto Vetorial

["Antonio Neto" <osneto@xxxxxxxxxxx>]

   Henrique, se a sua faculdade tiver um m�nimo de dec�ncia, ter� exemplares 
do livro do Natan Moreira dos Santos, Vetores e Matrizes. N�o sei se ainda 
est� sendo editado, mas deveria. � uma excelente introdu��o � �lgebra 
Linear, para quem est� entrando no assunto, e tem uma defini��o mais 
intuitiva de produto vetorial


>From: "Henrique Renn�" <henrique.renno@gmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Produto Vetorial
>Date: Sun, 16 Jul 2006 20:25:27 -0300
>
>Ol�!!!
>
>Gostaria de saber se algu�m poderia dar uma demonstra��o de como s�o
>definidos os componentes de um vetor perpendicular a outros dois
>vetores utilizando o produto vetorial em tr�s dimens�es. Eu sei que �
>necess�rio calcular o determinante dos dois vetores da seguinte forma
>para achar o vetor:
>
>|  i     j   k |
>| x1 y1 z1 |  =  (y1z2) i + (x2z1) j + (x1y2) k - (y2z1) i - (x1z2) j
>- (x2y1) k.
>| x2 y2 z2 |
>
>Dessa forma as componentes do vetor resultante ser�o:
>
>(y1z2 - y2z1 , x2z1 - x1z2 , x1y2 - x2y1).
>
>Mas como pode ser demonstrada essa rela��o entre o determinante e o
>vetor perpendicular???
>
>A necessidade dessa demonstra��o surgiu quando precisei calcular a
>�rea entre dois vetores de duas dimens�es.
>
>Representei os dois vetores u e v num sistema x,y e calculei a �rea do
>paralelogramo formado por eles como |u|.|v|.sen(c), onde "c" � o
>�ngulo entre os dois vetores. Depois representei c = b - a, em que "b"
>e "a" s�o os �ngulos entre os vetores v e u, respectivamente, e o eixo
>x.
>
>Utilizando a f�rmula sen(c) = sen(b-a) = sen(b)cos(a) - cos(b)sen(a)
>achei a �rea do paralelogramo como ux.vy - uy.vx, que � o determinante
>entre a matriz composta pelos componentes de u e v.
>
>| ux uy |
>| vx vy  |
>
>Estendendo para tr�s dimens�es n�o sei como demonstrar o produto
>vetorial, o qual em v�rios livros j� � dado definido como mencionei
>acima e que essa opera��o entre vetores fornece um vetor perpendicular
>aos dois vetores sobre o qual foi calculado.
>
>Tamb�m li que o produto escalar entre o vetor perpendicular resultante
>e um outro vetor w diferente de u e v (em que w tem a origem
>coincidindo com origem de u e v) fornece o volume do s�lido formado
>pelos vetores u, v e w.
>
>Essa defini��o consegui mostrar utilizando a base inferior e superior
>do s�lido e utilizando o cosseno entre o vetor w e um outro vetor
>perpendicular que formam um �ngulo "d" calculei a altura do s�lido
>como |w|.cos(d).
>
>Volume = �rea da base * altura = | u x v | * | w | * cos(d), que � o
>produto escalar entre o vetor u x v e w. Volume = | (u x v) . w |
>
>A igualdade cos(theta) = (A.B) / |A||B| pode ser verificada atrav�s do
>cosseno da diferen�a de dois �ngulos.
>
>Assim, se puder existir uma demonstra��o simples e clara do produto
>vetorial ficarei muito grato. Estou estudando �lgebra Linear e os
>livros que peguei na faculdade em n�vel de Gradua��o n�o s�o t�o
>did�ticos, sendo que os autores consideram que o leitor j� tenha
>conhecimento de diversos conceitos para v�rias f�rmulas que s�o apenas
>dadas. � bem diferente de livros utilizados no Ensino M�dio.
>
>Pediria tamb�m alguma indica��o para livros sobre o assunto �lgebra
>Linear. Sempre estudo matem�tica e adoro a "rainha das ci�ncias", mas
>agora vejo que o n�vel de abstra��o est� ficando cada vez maior.
>
>Grato pela aten��o,
>
>--
>Henrique
>
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>Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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