RE: [obm-l] Produto Vetorial

["Antonio Neto" <osneto@xxxxxxxxxxx>]

   Henrique, se a sua faculdade tiver um mínimo de decência, terá exemplares 
do livro do Natan Moreira dos Santos, Vetores e Matrizes. Não sei se ainda 
está sendo editado, mas deveria. É uma excelente introdução à Álgebra 
Linear, para quem está entrando no assunto, e tem uma definição mais 
intuitiva de produto vetorial


>From: "Henrique Rennó" <henrique.renno@gmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Produto Vetorial
>Date: Sun, 16 Jul 2006 20:25:27 -0300
>
>Olá!!!
>
>Gostaria de saber se alguém poderia dar uma demonstração de como são
>definidos os componentes de um vetor perpendicular a outros dois
>vetores utilizando o produto vetorial em três dimensões. Eu sei que é
>necessário calcular o determinante dos dois vetores da seguinte forma
>para achar o vetor:
>
>|  i     j   k |
>| x1 y1 z1 |  =  (y1z2) i + (x2z1) j + (x1y2) k - (y2z1) i - (x1z2) j
>- (x2y1) k.
>| x2 y2 z2 |
>
>Dessa forma as componentes do vetor resultante serão:
>
>(y1z2 - y2z1 , x2z1 - x1z2 , x1y2 - x2y1).
>
>Mas como pode ser demonstrada essa relação entre o determinante e o
>vetor perpendicular???
>
>A necessidade dessa demonstração surgiu quando precisei calcular a
>área entre dois vetores de duas dimensões.
>
>Representei os dois vetores u e v num sistema x,y e calculei a área do
>paralelogramo formado por eles como |u|.|v|.sen(c), onde "c" é o
>ângulo entre os dois vetores. Depois representei c = b - a, em que "b"
>e "a" são os ângulos entre os vetores v e u, respectivamente, e o eixo
>x.
>
>Utilizando a fórmula sen(c) = sen(b-a) = sen(b)cos(a) - cos(b)sen(a)
>achei a área do paralelogramo como ux.vy - uy.vx, que é o determinante
>entre a matriz composta pelos componentes de u e v.
>
>| ux uy |
>| vx vy  |
>
>Estendendo para três dimensões não sei como demonstrar o produto
>vetorial, o qual em vários livros já é dado definido como mencionei
>acima e que essa operação entre vetores fornece um vetor perpendicular
>aos dois vetores sobre o qual foi calculado.
>
>Também li que o produto escalar entre o vetor perpendicular resultante
>e um outro vetor w diferente de u e v (em que w tem a origem
>coincidindo com origem de u e v) fornece o volume do sólido formado
>pelos vetores u, v e w.
>
>Essa definição consegui mostrar utilizando a base inferior e superior
>do sólido e utilizando o cosseno entre o vetor w e um outro vetor
>perpendicular que formam um ângulo "d" calculei a altura do sólido
>como |w|.cos(d).
>
>Volume = área da base * altura = | u x v | * | w | * cos(d), que é o
>produto escalar entre o vetor u x v e w. Volume = | (u x v) . w |
>
>A igualdade cos(theta) = (A.B) / |A||B| pode ser verificada através do
>cosseno da diferença de dois ângulos.
>
>Assim, se puder existir uma demonstração simples e clara do produto
>vetorial ficarei muito grato. Estou estudando Álgebra Linear e os
>livros que peguei na faculdade em nível de Graduação não são tão
>didáticos, sendo que os autores consideram que o leitor já tenha
>conhecimento de diversos conceitos para várias fórmulas que são apenas
>dadas. É bem diferente de livros utilizados no Ensino Médio.
>
>Pediria também alguma indicação para livros sobre o assunto Álgebra
>Linear. Sempre estudo matemática e adoro a "rainha das ciências", mas
>agora vejo que o nível de abstração está ficando cada vez maior.
>
>Grato pela atenção,
>
>--
>Henrique
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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