Re: RES: [obm-l] pontos num plano

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Jul 10, 2006 at 04:29:23PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> Naquela proposicao sobre a sequencia dos conjuntos de pontos de acumulacao,
> hah ainda uma proposicao adicional cuja prova ou contra exemplo parecem ser
> bem dificeis. Lembrando o problema: 
> 
> Seja A um subconjunto de R que tenha pontos de acumulacao. Facamos A_0 = A e
> seja A_1 o conjunto dos pontos de acumulacao de A_0. Seja agora A_2 o
> conjunto dos pontos de acumulacao de A_1. De modo geral, formemos uma
> sequencia de conjuntos em que cada A_k eh o conjunto dos pontos de
> acumulacao de A_(k-1). 
> 
> Vimos que, se para algum k tivermos A_k enumeravel, entao A eh enumeravel.
> Eu ouvi um top dog afirmar (mas nao vi a demonstracao) de que se tivermos
> A_k = vazio para algum k, entao, alem de enumeravel, A e um G-delta (nao sei
> se isso ainda eh verdade se A_k for enumeravel para algum k).
> 
> A demonstracao disso nao parece facil. 
> 
> Artur
> 
> PS. Lembrando: Um conjunto eh G-delta se for dado pela intercessao de uma
> colecao enumeravel de conjuntos abertos. 

O conjunto A_0 U A_1 é fechado, logo um G-delta.
Para passarmos de A_0 para A_1 precisamos eliminar um número enumerável
de pontos x_0, x_1, x_2, ... Basta tomar a interseção com os abertos
R - {x_0}, R - {x_1}, ...

Mudando um pouco de assunto, se A_0 for fechado e enumerável,
nada garante que algum A_k seja vazio. Podemos definir A_omega
como a interseção de todos os A_k, k natural. Podemos prosseguir
definindo A_{omega+1} como o conjunto dos pontos de acumulação
de A_omega, A_{omega+k+1} como o conjunto dos pontos de acumulação
de A_{omega+k}, A_{omega*2} como a interseção de todos os A_{omega+k}
e assim por diante para todos os ordinais. Sempre existe um ordinal
enumerável alfa para o qual A_alfa é vazio, mas alfa
pode ser arbitrariamente alto.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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