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Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
From: Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>
Date: Thu, 6 Jul 2006 19:42:29 -0700 (PDT)
DomainKey-Signature: a=rsa-sha1; q=dns; c=nofws; s=s1024; d=yahoo.com; h=Message-ID:Received:Date:From:Subject:To:In-Reply-To:MIME-Version:Content-Type:Content-Transfer-Encoding; b=G5J9R0g7++uMzIfyOFh5X6eo5BsJZQYSAoQ0QZFlSDPpu2XZADsd+OhrSAB9XLizXdpZDRjXX14N+qwI5IH+Bw2HxkmzBRgtZkbCXs+aIeQrY0gNfaNPTINBXUDgzt0MP5/JDVdVhbTdmJDJZHJbO6b5g0KgyY2j+PlJJvKHUyM= ;
In-Reply-To: <20060706195438.1yq8be8hcs804s04@webmail.impa.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

Muito obrigado! Este eh um assunto que me fascina, mas
no qual encontro alguma dificuldade. Custei a entender
o conceito da medida de Hausdorff.

Abracos
Artur 

--- gugu@impa.br wrote:

>     Caro Artur,
>     Vou tentar explicar algumas dessas coisas:
> Quoting Artur Costa Steiner
> <artur.steiner@mme.gov.br>:
> 
> > Com relacao a este assunto, eu gostaria que alguem
> esclarecesse algumas
> > duvidas, fiquei um tanto confuso:
> >
> > A dimensao de Hausdorff eh baseada na medida (ou
> medida exterior, nao estou
> > certo) de Hausdorff, OK? Se A eh um conjunto de
> R^n  eh H_d(A)eh a sua
> > medida d-dimensional de Hausdorff, entao a
> dimensao de Hausdorff D(A) eh
> > definida por infimo{d >=0 | H_d(A) >0}, certo? A
> medida de Hausdorff eh uma
> > extensao da medida de Lebesgue, soh que em vez da
> soma dos volumes (volume,
> > aqui, no sentido geral) dos conjuntos da
> cobertura, tomam-se as potências d
> > deste volumes,
> 
> Mais precisamente toma-se potências d dos diâmetros
> dos conjuntos da 
> cobertura.
> 
> > limitando o diametro dos conjuntos da cobertura em
> r>0 e ,
> > depois , tomando-se o infimo em r>=0 desta somas
> de potencias d dos volumes.
> 
> E fazendo r tender a 0, ou seja, tomando o liminf
> dessas somas quando r 
> tende a 0.
> 
> > Assim, para d=1 as medidas de Hausdorff e de
> Lebesgue se confundem, certo?
> Certo.
> > Se H_d(A) < oo, entao H_p(A) = 0 para p >d e
> H_p(A) = oo para 0<= p <d. Eh
> > isso mesmo?
> 
> Sim.
> 
> > O Gugu dise  que existe um conjunto de cantor K
> com dimensao de Hausdorff
> > nula e tal que K - K seja um intervalo. Isto
> implica que, em R^n, eh
> > possivel que um conjunto A tenha medida de
> Lebesgue nula e que, ainda assim,
> > A- A contenha uma bola, certo?
> 
> Sim. Mas isso já segue de tomar A igual ao conjunto
> de Cantor usual 
> (que tem dimensão de Hausdorff positiva mas medida
> de Lebesgue nula).
> 
> >
> > Tambem eh verdade em R^n que, se A tem medida
> positiva (compacto ou nao),
> > entao A - A contem uma bola centrada na origem e A
> + A contem uma bola em
> > algum lugar, certo?
> 
> Sim.
> 
> >
> > Existe o classico conjunto de Cantor, obtido
> removendo-se sucessivamente
> > tercos de intervalos de [0, 1], o qual eh compacto
> e tem medida nula, logo
> > interior vazio. Mas falou-se em "conjuntos de
> Cantor", logo existem outros
> > que ateh podem conter intervalos. Como sao
> construidas estas generalizacoes
> > do conjunto basico de Cantor?
> 
> Conjuntos de Cantor são conjuntos homeomorfos ao
> conjunto de Cantor 
> usual, e portanto não contêm intervalos. Os
> conjuntos de Cantor 
> contidos na reta real são  exatamente os conjuntos
> compactos, sem 
> pontos isolados e de interior vazio.
>     Abraços,
>               Gugu
> >
> > Obrigado
> >
> > Artur
> >
> >
> > -----Mensagem original-----
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> > nome de gugu@impa.br
> > Enviada em: terça-feira, 4 de julho de 2006 20:00
> > Para: Nicolau C. Saldanha
> > Cc: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
> >
> >
> >     Oi Nicolau,
> >     Na verdade, estritamente falando, a sua
> afirmação não é verdadeira:
> > é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta
> com dimensão de
> > Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu
> trabalho com o Yoccoz,
> > no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica
> que a maioria
> > (aberto, denso e de "medida total")dos conjuntos
> de Cantor
> > dinamicamente definidos por funções expansoras
> (pelo menos de classe
> > C^(1+d), com d>0; para C^1 é genericamente falso)
> K com dimensão de
> > Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior
> não-vazio. Por outro
> > lado, para Conjuntos de Cantor "bem-comportados"
> (por exemplo
> > dinamicamente definidos) K com dimensão de
> Hausdorff menor que 1/2, K-K
> > tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade
> limite (que, para
> > conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão
> de Hausdorff) de K é
> > menor que 1/2. Por outro lado é possível construir
> um conjunto de
> > Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal
> que K-K é um intervalo.
> >     Abraços,
> >                Gugu
> >
> > Quoting "Nicolau C. Saldanha"
> <nicolau@mat.puc-rio.br>:
> >
> >> On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur
> Costa Steiner wrote:
> >>> Esta conclusao a respeito do conjunto K de
> Cantor eh exemplo de uma
> >>> conclusao interessante. Sabemos que se um
> conjunto A de R^n tem medida de
> >>> Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola
> centrada na origem. Mas a
> >>> reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e,
> mesmo assim, K - K = [-1,
> >>> 1], que eh uma bola em R centrada na origem.
> >>
> >> Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas
> existe um número a,
> >> 0 < a < 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de
> um subconjunto compacto
> >> A de R é maior do que a então A-A contem uma bola
> centrada na origem.
> >> Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a
> para o qual vale
> >> este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue
> deste resultado geral.
> >>
> >> Se A tem medida positiva sua dimensão de
> Hausdorff é 1;
> >> a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de
> Cantor usual)
> >> é log 2/log 3 ~= 0.63.
> >>
> >> []s, N.
> >>
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
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References:
- Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
  - From: gugu

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