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Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
Caro Artur,
Vou tentar explicar algumas dessas coisas:
Quoting Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:
> Com relacao a este assunto, eu gostaria que alguem esclarecesse algumas
> duvidas, fiquei um tanto confuso:
>
> A dimensao de Hausdorff eh baseada na medida (ou medida exterior, nao estou
> certo) de Hausdorff, OK? Se A eh um conjunto de R^n eh H_d(A)eh a sua
> medida d-dimensional de Hausdorff, entao a dimensao de Hausdorff D(A) eh
> definida por infimo{d >=0 | H_d(A) >0}, certo? A medida de Hausdorff eh uma
> extensao da medida de Lebesgue, soh que em vez da soma dos volumes (volume,
> aqui, no sentido geral) dos conjuntos da cobertura, tomam-se as potências d
> deste volumes,
Mais precisamente toma-se potências d dos diâmetros dos conjuntos da
cobertura.
> limitando o diametro dos conjuntos da cobertura em r>0 e ,
> depois , tomando-se o infimo em r>=0 desta somas de potencias d dos volumes.
E fazendo r tender a 0, ou seja, tomando o liminf dessas somas quando r
tende a 0.
> Assim, para d=1 as medidas de Hausdorff e de Lebesgue se confundem, certo?
Certo.
> Se H_d(A) < oo, entao H_p(A) = 0 para p >d e H_p(A) = oo para 0<= p <d. Eh
> isso mesmo?
Sim.
> O Gugu dise que existe um conjunto de cantor K com dimensao de Hausdorff
> nula e tal que K - K seja um intervalo. Isto implica que, em R^n, eh
> possivel que um conjunto A tenha medida de Lebesgue nula e que, ainda assim,
> A- A contenha uma bola, certo?
Sim. Mas isso já segue de tomar A igual ao conjunto de Cantor usual
(que tem dimensão de Hausdorff positiva mas medida de Lebesgue nula).
>
> Tambem eh verdade em R^n que, se A tem medida positiva (compacto ou nao),
> entao A - A contem uma bola centrada na origem e A + A contem uma bola em
> algum lugar, certo?
Sim.
>
> Existe o classico conjunto de Cantor, obtido removendo-se sucessivamente
> tercos de intervalos de [0, 1], o qual eh compacto e tem medida nula, logo
> interior vazio. Mas falou-se em "conjuntos de Cantor", logo existem outros
> que ateh podem conter intervalos. Como sao construidas estas generalizacoes
> do conjunto basico de Cantor?
Conjuntos de Cantor são conjuntos homeomorfos ao conjunto de Cantor
usual, e portanto não contêm intervalos. Os conjuntos de Cantor
contidos na reta real são exatamente os conjuntos compactos, sem
pontos isolados e de interior vazio.
Abraços,
Gugu
>
> Obrigado
>
> Artur
>
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de gugu@impa.br
> Enviada em: terça-feira, 4 de julho de 2006 20:00
> Para: Nicolau C. Saldanha
> Cc: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: RES: [obm-l] Cj. Cantor
>
>
> Oi Nicolau,
> Na verdade, estritamente falando, a sua afirmação não é verdadeira:
> é possível exibir um conjunto de Cantor A na reta com dimensão de
> Hausdorff 1 tal que A-A tem medida nula. O meu trabalho com o Yoccoz,
> no qual provamos uma conjectura do Jacob, implica que a maioria
> (aberto, denso e de "medida total")dos conjuntos de Cantor
> dinamicamente definidos por funções expansoras (pelo menos de classe
> C^(1+d), com d>0; para C^1 é genericamente falso) K com dimensão de
> Hausdorff maior que 1/2 é tal que K-K tem interior não-vazio. Por outro
> lado, para Conjuntos de Cantor "bem-comportados" (por exemplo
> dinamicamente definidos) K com dimensão de Hausdorff menor que 1/2, K-K
> tem medida nula. Isso vale sempre que a capacidade limite (que, para
> conjuntos bem-comportados, coincide com a dimensão de Hausdorff) de K é
> menor que 1/2. Por outro lado é possível construir um conjunto de
> Cantor K na reta com domensão de Hausdorff 0 tal que K-K é um intervalo.
> Abraços,
> Gugu
>
> Quoting "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>:
>
>> On Tue, Jul 04, 2006 at 11:28:39AM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
>>> Esta conclusao a respeito do conjunto K de Cantor eh exemplo de uma
>>> conclusao interessante. Sabemos que se um conjunto A de R^n tem medida de
>>> Lebesgue positiva, entao A - A contem uma bola centrada na origem. Mas a
>>> reciproca na eh vedadeira. K tem medida nula e, mesmo assim, K - K = [-1,
>>> 1], que eh uma bola em R centrada na origem.
>>
>> Novamente, o Gugu é a autoridade no assunto, mas existe um número a,
>> 0 < a < 1, tal que se a dimensão de Hausdorff de um subconjunto compacto
>> A de R é maior do que a então A-A contem uma bola centrada na origem.
>> Infelizmente eu não sei qual é o menor valor de a para o qual vale
>> este resultado, nem sei se o nosso exemplo segue deste resultado geral.
>>
>> Se A tem medida positiva sua dimensão de Hausdorff é 1;
>> a dimensão de Hausdorff de K (o conjunto de Cantor usual)
>> é log 2/log 3 ~= 0.63.
>>
>> []s, N.
>>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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