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Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)
De fato eu tambem vi este problema mais geral numa
edicao do livro do Rudin. Eh uma edicao de um livro
compado em 2002.
Considerando a reta real, o problema que o Mouse
postou leva a uma conclusao interesante. Existe um
intervalo, logo um intervalo compacto I, no qual
|f[n](x)| < M para todo n e todo x. As funcoes f[n]
sao continuas e, portanto, Lebesgue e Riemann
integraveis em I. As integrais de Riemann e de
Lebesgue, portanto, coincidem. A seq. f[n] eh dominada
em I por M, logo pela funcao constante g(x) = M, que
eh integravel em I. Pelo teorema da convergencia
dominada de Lebesgue, a funcao limite f eh Lebesgue
integravel em I e a seq. das integrais de Lebesgue
(que se igualam aas de Riemann ) das funcoes f[n] em I
converge para a integral de Lebesgue de f. f tambem eh
dominada por M, logo limitada em I. Mas serah que eh
Riemann integravel em I? Se o conjunto das
descontinuidades de f em I tiver medida de Lebesgue
nula, a resposta eh sim, mas nao sei se isso eh
verdade. O conjunto destas descontinuidades eh magro
na classificacao de Baire, mas isto nao implica que
tenha mnedida nula.
Artur
--- niski lista <niskilista@gmail.com> wrote:
> É engraçado que esse exercicio que o Artur citou
> estava na segunda
> edicao do Real and Complex analysis. Na terceira o
> Rudin simplificou e
> só deixou a que o Mouse postou.
>
> On 6/29/06, Artur Costa Steiner
> <artur_steiner@yahoo.com> wrote:
> > O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter
> (n=1,
> > oo) {x | |f[n](x| <= K}. A continuidade de f[n]
> > implica que cada um dos conjuntos desta colecao
> seja
> > fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
> > fechado.
> > Um ponto interessante eh que este teorema nao se
> > limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
> > que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
> > metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
> > continuas de X em Y que convirja em todo o X,
> entao
> > existem um aberto V em X e M>0 tais que
> ||f[n](x|| <
> > M para todo natural n e todo x em V.
> >
> > Artur
> >
> > --- niski lista <niskilista@gmail.com> wrote:
> >
> > > Assim,
> > > Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n
> >0}.
> > > F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
> > > Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
> > > infinito, nos naturais.
> > > O teorema de baire garante que para algum desses
> > > F[K] tem possui um
> > > subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja
> F[M]
> > > este conjunto.
> > > Extraia do seu subconjunto aberto de interior
> nao
> > > vazio um intervalo
> > > I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao
> para
> > > todo x em I, vale
> > > que |f[n](x) <= M|. Como queriamos.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > On 6/28/06, Mouse <mouse@ajato.com.br> wrote:
> > > > Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem
> na
> > > Lista. Sou engenheiro
> > > > de formação mas há algum tempo venho estudando
> > > análise matematica por
> > > > hobby.
> > > > Este problema que estou enviando para a lista
> é do
> > > livro de Walter
> > > > Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do
> > > capitulo 5, acredito que
> > > > ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
> > > entao vou deixar o
> > > > enunciado na forma original.
> > > >
> > > > "Let {f[n]} be a sequence of continuous real
> > > functions on the line which
> > > > converges at every point. Prove that there is
> an
> > > interval I and a number
> > > > M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in
> I
> > > and n = 1,2,3,... "
> > > >
> > > >
> > > > Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem
> > > conhece a solucao ou pode
> > > > enviar para discutirmos?
> > > >
> > > > Um abraço a todos!
> > > >
> > > > Mouse
> > > >
> > >
> >
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> e
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