Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)

["niski lista" <niskilista@xxxxxxxxx>]

É engraçado que esse exercicio que o Artur citou estava na segunda
edicao do Real and Complex analysis. Na terceira o Rudin simplificou e
só deixou a que o Mouse postou.

On 6/29/06, Artur Costa Steiner <artur_steiner@yahoo.com> wrote:
> O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter (n=1,
> oo) {x | |f[n](x| <= K}. A continuidade de f[n]
> implica que cada um dos conjuntos desta colecao  seja
> fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
> fechado.
> Um ponto interessante eh que este teorema nao se
> limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
> que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
> metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
> continuas de X em Y que convirja em todo o X, entao
> existem um aberto V em X e  M>0 tais que ||f[n](x|| <
> M para todo natural n e todo x em V.
>
> Artur
>
> --- niski lista <niskilista@gmail.com> wrote:
>
> > Assim,
> > Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n >0}.
> > F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
> > Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
> > infinito, nos naturais.
> > O teorema de baire garante que para algum desses
> > F[K] tem possui um
> > subconjunto aberto de interior nao vazio.  Seja F[M]
> > este conjunto.
> > Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao
> > vazio um intervalo
> > I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para
> > todo x em I, vale
> > que |f[n](x) <= M|. Como queriamos.
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > On 6/28/06, Mouse <mouse@ajato.com.br> wrote:
> > > Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na
> > Lista. Sou engenheiro
> > > de formação mas há algum tempo venho estudando
> > análise matematica por
> > > hobby.
> > > Este problema que estou enviando para a lista é do
> > livro de Walter
> > > Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do
> > capitulo 5, acredito que
> > > ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
> > entao vou deixar o
> > > enunciado na forma original.
> > >
> > > "Let {f[n]} be a sequence of continuous real
> > functions on the line which
> > > converges at every point. Prove that there is an
> > interval I and a number
> > > M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in I
> > and n = 1,2,3,... "
> > >
> > >
> > > Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem
> > conhece a solucao ou pode
> > > enviar para discutirmos?
> > >
> > > Um abraço a todos!
> > >
> > > Mouse
> > >
> >
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> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > usar a lista em
> > >
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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