Re:[obm-l] Algebra: elementos nilpotentes e aneis de integridade

De:

owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:

"OBM-L" obm-l@mat.puc-rio.br

C�pia:

Data:

Fri, 16 Jun 2006 23:49:35 -0300

Assunto:

[obm-l] Algebra: elementos nilpotentes e aneis de integridade

> Pessoal,

> Algu�m pode, por favor, me dar uma dica de como resolver estes dois

> problemas de �lgebra?

> 1) Mostre que o conjunto dos elementos nilpotentes de um anel

> comutativo A � um subanel de A.

Se a, b s�o tais que a^m = 0 e b^n = 0, ent�o:

(ab)^(mn) = 0 e (a-b)^(m+n) = 0

Como A � comutativo, (ab)^(mn) = a^(mn)*b^(mn) = (a^m)^n*(b^n)^m = 0^n*0^m = 0 e

(a - b)^(m+n) = SOMA(k=0...m+n) (-1)^k*Binom(m+n,k)*a^(m+n-k)*b^k

Se k <= n, ent�o a^(m+n-k) = a^m*a^(n-k) = 0*a^(n-k) = 0

Se k > n, ent�o b^k = b^n*b^(k-n) = 0*b^(k-n) = 0

Logo, todos os termos do somat�rio se anulam.

> 2) Prove detalhadamente: Se a � um elemento do anel de integridade A e

> a^2 = 1, ent�o a = 1 ou a = -1.

a^2 = 1 <==> a^2 - 1 = 0 <==> (a - 1)*(a + 1) = 0

Como A � um dom�nio de integridade, a - 1 = 0 ou a + 1 = 0 <==>

a = 1 ou a = -1.

> Aqui minha primeira d�vida � se isso � realmente verdade. No anel Z_3

> (anel dos inteiros m�dulo 3), por exemplo, que � um anel de

> integridade, o fato de a^2 = 1 n�o significade de a = 1 ou a = -1 (em

> Z_3, 2^2 � igual a 1).

Mas em Z_3, -1 = 2...

[]s,

Claudio.