[obm-l] Algebra: elementos nilpotentes e aneis de integridade

["Daniel S. Braz" <dsbraz@xxxxxxxxx>]

Pessoal,

Alguém pode, por favor, me dar uma dica de como resolver estes dois
problemas de álgebra?

1) Mostre que o conjunto dos elementos nilpotentes de um anel
comutativo A é um subanel de A.

Seja A' o conjunto dos elementos nilpotentes do anel comutativo A, ou
seja, A' = {a^n = 0 | a  pert A ; n pert N}

Dados dois elemento a, b de A', temos que:

(a-b)^k = 0 e (ab)^p = 0; k, p pert a N -> Como eu mostro isto? Tentei
utilizando binômio de newton mas não cheguei a lugar a nenhum...

2) Prove detalhadamente: Se a é um elemento do anel de integridade A e
a^2 = 1, então a = 1 ou a = -1.

Aqui minha primeira dúvida é se isso é realmente verdade. No anel Z_3
(anel dos inteiros módulo 3), por exemplo, que é um anel de
integridade, o fato de a^2 = 1 não significade de a = 1 ou a = -1 (em
Z_3, 2^2 é igual a 1).

obrigado.

Daniel.

-- 
"O modo mais provável do mundo ser destruído, como concordam a maioria
dos especialistas, é através de um acidente. É aí que nós entramos.
Somos profissionais da computação. Nós causamos acidentes" - Nathaniel
Borenstein

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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