[obm-l] Re: Somatória dos quadrados dos naturais

[<rlalonso@xxxxxxxxxx>]

Estava agora pouco consultando o livro do Hsu, Fourier Analysis e
vi uma outra forma para calcular soma 1/n^2:

   1) Ache a série de Fourier para a função f(t) = t^2 para
 -pi<t<pi e f(t+2*pi) = f(t).
  
   Resposta: f(t) = pi^2/3 + 4 * soma (n=1, oo)  (-1)^n/n^2 cos nt

   2) Faça t = pi no resultado anterior
          ==> cos n*pi = (-1)^n 
          ==> (-1)^n cos npi = (-1)^(2n) = 1
      daí temos que:
            pi^2/3 + 4*soma (n=1, oo) 1/n^2 = pi^2
                  4*soma(n=1, oo) 1/n^2 = 2pi^2/3
                    soma(n=1,oo) 1/n^2 = pi^2/6

   Note que séries de Fourier podem ser diferenciadas e integradas
também conduzindo a outras séries com resultados interessantes.  
 
   Questões de Olimpíada Universitária podem explorar isso, isto é,
 uma somatória  que aparentemente não sai por métodos
 elementares ou não é evidentemente derivada de uma série de Taylor
 pode ter tido origem
na expansão de Fourier de alguma função periódica. 

    Convém então fazer bastantes
exercícios de série de Fourier para ir se acostumando com questões
desse tipo.

[]s a todos.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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