Re: [obm-l] Cos 7º

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, May 30, 2006 at 01:49:53PM +0000, Demetrio Freitas wrote:
> 
> Talvez valha a pena comentar que o argumento da
> mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para
> mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por um
> número racional (ou expresso em radianos por um
> racional multiplicado por Pi) tem números algébricos
> como seno e cosseno.
> 
> Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um
> número algébrico são transcedentais é possível com o
> teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não sei
> demonstrar).
> 
> Por último, resta responder se senos e cossenos de
> ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos
> racionais de Pi, são transcedentais. Este último acho
> que está em aberto. Além poderia confirmar?

Isto é falso (se eu entendi corretamente a pergunta).

Sabemos que se t é um múltiplo racional de pi então
2 cos t é um inteiro algébrico. Sabemos também que se
t é algébrico e diferente de 0 então cos t é transcendente.
Seja t = arc cos(1/4): pelos resultados acima, t é transcendente
mas não é múltiplo racional de pi. Por outro laso, cos t é recional.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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