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Re: [obm-l] Cos 7º
Talvez valha a pena comentar que o argumento da
mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para
mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por um
número racional (ou expresso em radianos por um
racional multiplicado por Pi) tem números algébricos
como seno e cosseno.
Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um
número algébrico são transcedentais é possível com o
teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não sei
demonstrar).
Por último, resta responder se senos e cossenos de
ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos
racionais de Pi, são transcedentais. Este último acho
que está em aberto. Além poderia confirmar?
[]´s Demétrio
--- Demetrio Freitas
<demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:
>
> Só pra dar um dos possíveis exemplos de como se
> obter
> cos(7 graus) a partir de equações algébricas (e sem
> querer dar pitaco na discussão mais avançada que se
> seguiu depois!!!)
>
> 1- Tome p(x) = x^180 + 1 e calcule suas raízes.
> 2- Tome uma das raízes com parte real máxima(são 4
> raízes com parte real máxima em módulo, tomemos uma
> delas, digamos x180)
> 3- Eleve este numero complexo à sétima: c7 =
> (x180)^7
> 4- A parte real de c7 vale cos(7 graus), exatamente.
>
> []´s Demétrio
>
> No maple =>
>
> restart;f:=x^180+1;z:=solve(f=0):
> 180
> f := x + 1
> > r180:=0: for r in z do
> > if ( evalf(Re(r180)) < evalf(Re(r)) ) then
> r180:=r: end if:
> > end do:
> >
> >
> > evalf((r180));
> 0.9998476955 + 0.01745240644 I
> > evalf[50](Re(r180^7));
> 0.99254615164132203498006158933058410904365287740678
> > evalf[50](cos(2*Pi*7/360));
> 0.99254615164132203498006158933058410904365287740683
>
>
>
>
> --- rlalonso@lsi.usp.br escreveu:
>
> > On Fri, Maio 26, 2006, "Nicolau C. Saldanha"
> > <nicolau@mat.puc-rio.br>
> > said:
> >
> > > Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a
> > segunda mair raiz de
> > >
> > > 48 46
>
> > 44
> > > 281474976710656 z - 3377699720527872 z +
> > 18999560927969280 z
> > >
> > > 42
>
> > 40 38
> > > - 66568831992070144 z +
> 162828875980603392
> > z - 295364007592722432 z
> > >
> > > 36
>
> > 34
> > > + 411985976135516160 z -
> 452180272956309504
> > z
> > >
> > > 32
>
> > 30
> > > + 396366279591591936 z -
> 280058255978266624
> > z
> > >
> > > 28
>
> > 26 24
> > > + 160303703377575936 z -
> 74448984852135936
> > z + 28011510450094080 z
> > >
> > > 22
> 20
> > 18
> > > - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z
>
> > - 397107008634880 z
> > >
> > > 16 14
>
> > 12
> > > + 59570604933120 z - 6832518856704 z +
> > 583456329728 z
> > >
> > > 10 8
>
> > 6 4 2
> > > - 35782471680 z + 1497954816 z -
> 39625728
> > z + 579456 z - 3456 z + 1
> > >
> > >
> > > As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus)
> para
> > > k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
> 43.
> >
> >
> > Magnífico. Onde será que eu posso achar algo
> > que explique como
> > construir esse polinômio ... Acredito que não deva
> > ser nada simples.
> >
> > Ronaldo.
> >
> >
> >
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> > usar a lista em
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