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Re: [obm-l] Cos 7º
Em 30/05/06, Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@yahoo.com.br> escreveu:
Talvez valha a pena comentar que o argumento da
mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para
mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por um
número racional (ou expresso em radianos por um
racional multiplicado por Pi) tem números algébricos
como seno e cosseno.
Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um
número algébrico são transcedentais é possível com o
teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não sei
demonstrar).
Por último, resta responder se senos e cossenos de
ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos
racionais de Pi, são transcedentais. Este último acho
que está em aberto. Além poderia confirmar?
[]´s Demétrio
Na verdade bastaria demonstrar que cos Nx é um polinomio em cos x, para provar o seu intento. Aliás tem uma demo disto no "Proofs from THE BOOK".
O que voce querioa saber, se por exemplo cos(e) em que (e) e o numero de Euler, é transcedente ou nao?
Podemos ver algo como sen(X)=(e^(ix \pi)-e^(-ix \pi))/2i. Talvez haja uma luz sobre tais conjecturas... E creio que seja um problema em aberto mesmo, pois nada diz que ele seja fácil (saber se e^e é transcedente já nào dá...)