Re: [obm-l] Re: [obm-l] Galois e polin�mio irredut�vel [era: Achar as raizes z^4+4]

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, May 26, 2006 at 09:59:31PM +0000, Lu�s Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
> 
> Oi N.,
> 
> O que quero dizer seria mais f�xil com um exemplo.
> 
> Mas seja p(x) = x^3 + px + q = 0. (*) Z[x]
> 
> Para achar as ra�zes , calcule D = q^2/4 + p^3/27 e
> suponha D<0. (3 ra�zes reais distintas e n�o racionais por hip�tese).
> 
> Calculamos phi = Arccos\frac{q\sqrt{27}}{2p\sqrt{-p}}
> 
> e as ra�zes de (*) s�o:
> 
> x_1 = 2\sqrt{-p/3}cos(phi/3) = A cos(phi/3)
> 
> x_2 = A cos(phi/3 + 2\pi/3)
> 
> x_3 = A cos(phi/3 + 4\pi/3)
> 
> Infelizmente n�o me ocorre um exemplo num�rico mas acho que
> o exemplo cl�ssico de cos20 serve.
> 
> No caso dos x_i n�o serem n�meros alg�bricos posso dizer que
> o polin�mio se fatora em (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) ?

O seu �nico erro � julgar que estes n�meros n�o s�o alg�bricos.
Eles s�o alg�bricos sim, prova disso � que eles s�o ra�zes
de um polin�mio com coeficientes alg�bricos.
O fato deles serem escritos de uma forma que envolve o n�mero
transcendente pi e as fun��es cos e sen n�o altera isso.
 
> Pela sua resposta >Claro que pode! A fatora��o dele �
> >4(x - c7)(x - c127)(x - c247)
> 
> acho que posso.
> 
> Mas li que no caso acima onde D<0 o polin�mio � irredut�vel
> (sem raiz racional, � claro).

� irredut�vel em Q mas n�o em R.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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