Re: [obm-l] Galois e polinômio irredutível [era: Achar as raizes z^4+4]

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, May 26, 2006 at 08:09:36PM +0000, Luís Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
> 
> Guardei esta msg pois estava esperando um momento
> oportuno para voltar a ela. A msg do N. sobre cos7 foi
> este momento.
... (cortando um monte de coisa aqui) ...
> 4*x^3 - 3*x - c21 = 0;
> 
> O maple confirma que as três raízes são
> cos(127 graus) = -0.6018150231520482799179770004414898414256,
> cos(247 graus) = -0.3907311284892737550620845888890942676180,
> cos(  7 graus) =  0.9925461516413220349800615893305841090437.
> 
> Como se demonstra nos cursos de teoria de Galois, não é possível
> chegar numa fórmula com radicais reais para as raízes deste polinômio.
> ===
> Observe que as três raízes são reais e diferentes (solução 
> trigonométrica e
> aproximada).
> Então este polinômio NÃO pode ser fatorado (nos Reais) em
> produtos de primeiro e segundo grau, não é verdade???

Claro que pode! A fatoração dele é
4(x - c7)(x - c127)(x - c247)

onde c7 = cos(7 graus), c127 = cos(127 graus), c247 = cos(247 graus).
Não sei se entendi muito bem o que você quer dizer com "solução
trigonométrica e aproximada". As raízes são *exatamente* c7, c127 e c247.
É claro que as expansões decimais acima são apenas aproximações.
 
> Mas pode ser fatorado nos complexos, não? (Com radicais complexos).

A expressão "radicais reais" na minha mensagem talvez tenha sido a fonte
da sua confusão. Existe uma fórmula para encontrar as raízes de um polinômio
de grau 3: pq não usar este método acima? A razão é que a resposta seria
insatisfatória por ser um pouco tautológica: encontraríamos

c7 = (z21^(1/3) + z339^(1/3))/2

onde z21 = cos(21 graus) + i sen(21 graus) e
z339 = cos(21 graus) - i sen(21 graus).

A maneira óbvia de calcular z21^(1/3) é usar a forma polar e chegaríamos
à conclusão nem um pouco surpreendente que c7 = cos(7 graus).

A pergunta que fica no ar é se não podemos fazer esta álgebra final
(a de resolver a equação de grau 3) de alguma outra forma para termos
uma formula para c7 onde permitiríamos expressões da forma a^(1/3)
(ou até a^(1/n)) para a *real*. A resposta é não.
 
> No caso de polinômios em Z[x] e do 3o. grau conheço livros e os casos
> onde isto acontece (discussão do discriminante e das raízes). Não
> estou lembrado se há a mesma discussão para Z[x] e pol. de grau 4.
> 
> Gostaria de comentários sobre os pol. de grau 3 e 4 em Z[x] que
> são redutíveis e irredutíveis nos R/C.

p = z^4 + 2 é irredutível em Z como pode ser verificado pelo critério
de Eisenstein. Ou, de forma mais elementar, podemos observar que as
raízes são aw, aw^(-1), aw^3, aw^(-3) onde a = 2^(1/4) e
w = exp(pi i/4) = (1+i)/sqrt(2). A única forma de fatorar p em R é
((z - aw)(z - aw^(-1)) ((z - aw^3)(z - aw^(-3)) =
(z^2 - a^3 z + 1)(z^2 + a^3 z + 1).
Como a^3 não é inteiro, p é irredutível em Z.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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