[obm-l] Galois e polinômio irredutível [era: Achar as raizes z^4+4]

[Luís Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Guardei esta msg pois estava esperando um momento
oportuno para voltar a ela. A msg do N. sobre cos7 foi
este momento.

Tenho dúvidas e comentários sobre o título do assunto.

===
Ache as 4 raizes da equação z^4+4 = 0: Use-as para fatorar z^4+4
em fatores quadraticos com coeficientes reais.
===
>Se você sabe que todo polinômio pode ser fatorado (nos Reais) em
>produtos de primeiro e segundo grau, entao tá quase pronto:

Isso eu sabia mas tinha dúvidas. A msg do N. reforçou a dúvida.

Nesse caso é fácil pois conhecemos as raízes: 1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i

z^4+4 = (z^2 + 2z + 2) (z^2 - 2z + 2)

Seja agora p(x) um polinômio com coeficientes nos reais, em particular
do 3o. grau. Sabe-se que se as três raízes forem reais e diferentes, este
pol. é irredutível nos reais.

Pegamos o polinômio da msg do N.

cos(21 graus) = c21 := c36*c15+s36*s15;

Como cos(3t) = 4 cos^3(t) - 3 cos(t), cos(7 graus) é uma
das raízes de

4*x^3 - 3*x - c21 = 0;

O maple confirma que as três raízes são
cos(127 graus) = -0.6018150231520482799179770004414898414256,
cos(247 graus) = -0.3907311284892737550620845888890942676180,
cos(  7 graus) =  0.9925461516413220349800615893305841090437.

Como se demonstra nos cursos de teoria de Galois, não é possível
chegar numa fórmula com radicais reais para as raízes deste polinômio.
===
Observe que as três raízes são reais e diferentes (solução trigonométrica e
aproximada).
Então este polinômio NÃO pode ser fatorado (nos Reais) em
produtos de primeiro e segundo grau, não é verdade???

Mas pode ser fatorado nos complexos, não? (Com radicais complexos).

No caso de polinômios em Z[x] e do 3o. grau conheço livros e os casos
onde isto acontece (discussão do discriminante e das raízes). Não
estou lembrado se há a mesma discussão para Z[x] e pol. de grau 4.

Gostaria de comentários sobre os pol. de grau 3 e 4 em Z[x] que
são redutíveis e irredutíveis nos R/C.

Obrigado.

[]'s
Luis


>From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@gmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Achar as raizes z^4+4
>Date: Fri, 28 Apr 2006 22:47:43 +0200
>
>Se você sabe que todo polinômio pode ser fatorado (nos Reais) em
>produtos de primeiro e segundo grau, entao tá quase pronto:
>
>1) as raízes sao todas complexas, logo é impossível que haja fatores
>de primeiro grau com coeficientes reais
>
>2) você entao pegas as raízes conjugadas (exercício : mostre que de um
>polinômio real saem apenas raízes complexas em "pares conjugados (a +
>bi  e a - bi)" e de mesma multiplicidade) e faz o produto dos monômios
>x - raiz e x - conjugado(raiz), que você sabe (prove!) que vai dar um
>polinômio do segundo grau com coeficientes reais. Você obtem aqui:
>
>Primeiro, vamos calcular raiz(2i) = número de módulo raiz(2) e ângulo
>1/2 pi = 1 + i (meio força bruta essa) e portanto deduzimos as 4
>raízes na forma dada pelo Aldo:
>1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i
>
>Os pares conjugados dao entao:
>(x - (1 + i))(x - (1 - i)) = x^2 - 2i x + 2
>(x - (-1 + i))(x - (-1 - i)) = x^2 + 2i x + 2
>
>Abraços,
>--
>Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
>On 4/28/06, Iuri <iurisilvio@gmail.com> wrote:
>>z^4 +4 = 0
>>+-sqrt(2i) e +-sqrt(2i)i sao as raizes. Mas nao consegui fatorar em termos
>>com coeficientes reais.
>>
>>
>>On 4/28/06, fabbez@zipmail.com.br <fabbez@zipmail.com.br> wrote:
>> >
>> > Favor como achar as raizes
>> >
>> > Ache as 4 raizes da equação z^4+4 = 0: Use-as para fatorar z^4+4 em
>>fatores
>> > quadraticos com coeficientes reais.


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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