[obm-l] Galois e polin�mio irredut�vel [era: Achar as raizes z^4+4]

[Lu�s Lopes <qed_texte@xxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Guardei esta msg pois estava esperando um momento
oportuno para voltar a ela. A msg do N. sobre cos7 foi
este momento.

Tenho d�vidas e coment�rios sobre o t�tulo do assunto.

===
Ache as 4 raizes da equa��o z^4+4 = 0: Use-as para fatorar z^4+4
em fatores quadraticos com coeficientes reais.
===
>Se voc� sabe que todo polin�mio pode ser fatorado (nos Reais) em
>produtos de primeiro e segundo grau, entao t� quase pronto:

Isso eu sabia mas tinha d�vidas. A msg do N. refor�ou a d�vida.

Nesse caso � f�cil pois conhecemos as ra�zes: 1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i

z^4+4 = (z^2 + 2z + 2) (z^2 - 2z + 2)

Seja agora p(x) um polin�mio com coeficientes nos reais, em particular
do 3o. grau. Sabe-se que se as tr�s ra�zes forem reais e diferentes, este
pol. � irredut�vel nos reais.

Pegamos o polin�mio da msg do N.

cos(21 graus) = c21 := c36*c15+s36*s15;

Como cos(3t) = 4 cos^3(t) - 3 cos(t), cos(7 graus) � uma
das ra�zes de

4*x^3 - 3*x - c21 = 0;

O maple confirma que as tr�s ra�zes s�o
cos(127 graus) = -0.6018150231520482799179770004414898414256,
cos(247 graus) = -0.3907311284892737550620845888890942676180,
cos(  7 graus) =  0.9925461516413220349800615893305841090437.

Como se demonstra nos cursos de teoria de Galois, n�o � poss�vel
chegar numa f�rmula com radicais reais para as ra�zes deste polin�mio.
===
Observe que as tr�s ra�zes s�o reais e diferentes (solu��o trigonom�trica e
aproximada).
Ent�o este polin�mio N�O pode ser fatorado (nos Reais) em
produtos de primeiro e segundo grau, n�o � verdade???

Mas pode ser fatorado nos complexos, n�o? (Com radicais complexos).

No caso de polin�mios em Z[x] e do 3o. grau conhe�o livros e os casos
onde isto acontece (discuss�o do discriminante e das ra�zes). N�o
estou lembrado se h� a mesma discuss�o para Z[x] e pol. de grau 4.

Gostaria de coment�rios sobre os pol. de grau 3 e 4 em Z[x] que
s�o redut�veis e irredut�veis nos R/C.

Obrigado.

[]'s
Luis


>From: "Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@gmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Achar as raizes z^4+4
>Date: Fri, 28 Apr 2006 22:47:43 +0200
>
>Se voc� sabe que todo polin�mio pode ser fatorado (nos Reais) em
>produtos de primeiro e segundo grau, entao t� quase pronto:
>
>1) as ra�zes sao todas complexas, logo � imposs�vel que haja fatores
>de primeiro grau com coeficientes reais
>
>2) voc� entao pegas as ra�zes conjugadas (exerc�cio : mostre que de um
>polin�mio real saem apenas ra�zes complexas em "pares conjugados (a +
>bi  e a - bi)" e de mesma multiplicidade) e faz o produto dos mon�mios
>x - raiz e x - conjugado(raiz), que voc� sabe (prove!) que vai dar um
>polin�mio do segundo grau com coeficientes reais. Voc� obtem aqui:
>
>Primeiro, vamos calcular raiz(2i) = n�mero de m�dulo raiz(2) e �ngulo
>1/2 pi = 1 + i (meio for�a bruta essa) e portanto deduzimos as 4
>ra�zes na forma dada pelo Aldo:
>1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i
>
>Os pares conjugados dao entao:
>(x - (1 + i))(x - (1 - i)) = x^2 - 2i x + 2
>(x - (-1 + i))(x - (-1 - i)) = x^2 + 2i x + 2
>
>Abra�os,
>--
>Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>
>On 4/28/06, Iuri <iurisilvio@gmail.com> wrote:
>>z^4 +4 = 0
>>+-sqrt(2i) e +-sqrt(2i)i sao as raizes. Mas nao consegui fatorar em termos
>>com coeficientes reais.
>>
>>
>>On 4/28/06, fabbez@zipmail.com.br <fabbez@zipmail.com.br> wrote:
>> >
>> > Favor como achar as raizes
>> >
>> > Ache as 4 raizes da equa��o z^4+4 = 0: Use-as para fatorar z^4+4 em
>>fatores
>> > quadraticos com coeficientes reais.


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