[obm-l] Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Ou entao, voce pode usar a formula de Heron, juntamente com MG <= MA.

Sejam a, b, c os lados e p o semi-perimetro do triangulo.
a < b + c ==> 2a < a + b + c = 2p ==> a < p ==> p-a > 0
Analogamente, p-b >0 e p-c > 0.
Como p eh constante, maximizar A eh equivalente a maximizar (A^2/p)^(1/3).
Heron ==> A^2/p = (p-a)(p-b)(p-c)
MG <= MA ==> 
(A^2/p)^(1/3) = ((p-a)(p-b)(p-c))^(1/3) <= ((p-a)+(p-b)+(p-c))/3 = p/3 ==>
A <= p^2/(3*raiz(3)), com igualdade sss p-a = p-b = p-c sss a = b = c

[]s,
Claudio.

--------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sun, 14 May 2006 06:00:44 -0300
Assunto: Re: [obm-l] triângulo de área máxima!

> On Sat, May 13, 2006 at 03:33:30PM +0000, vandermath@brturbo.com.br wrote:
> > Qual é a forma mais fácil de provar que dado um triângulo com perímetro
> > constante, ele terá área máxima quando for equilátero?
> 
> Primeiro verifique que dentre os triângulos com base dada (a)
> e soma dos dois outros lados também dada (b+c=2p-a),
> o isósceles (b=c) tem altura (em relação ao lado a) e portanto área
> estritamente maior do que qualquer outro.
> Você pode ver isso observando que, fixando os vértices B e C,
> o LG para o vértice A é uma elipse de focos B e C e o ponto
> mais distante do eixo maior da elipse é a posição desejada de A.
> 
> Depois faça o mesmo tipo de raciocínio rodando A, B, C.
> A cada passo, se o triângulo não for equilátero,
> você pode fazer a área ficar maior sem alterar o perímetro.
> Esta seqüência de triângulos tende para o triângulo equilátero.
> 
> []s, N.



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