Re: [obm-l] duas perguntas!

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

E o truque da inducao eh o seguinte:
Suponha spdg que a_1 <= a_2 <= ... <= a_n
Caso 1: se a_1 = a_n, entao, os a_i sao todos iguais a 1 e acabou.
Caso 2: a_1 < a_n ==> a_1 < 1 < a_n ==> 
(1 - a_1)*(a_n - 1) > 0 ==>
a_1 + a_n > 1 + a_1*a_n ==>
(a_2*...*a_(n-1))*(a_1*a_n) = 1 ==> (pela HI) 
a_2 + .. + a_(n-1) + a_1*a_n >= n - 1 ==>
a_2 + ... + a_(n-1) + (a_1*a_n + 1) >= n ==>
a_2 + ... + a(n-1) + (a_1 + a_n) >= n

[]s,
Claudio.
---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Sat, 13 May 2006 14:44:51 -0300
Assunto: Re: [obm-l] duas perguntas!

> Olá,
> 
> a demonstração MA > MG pode ser feita da seguinte maneira, utilizando o seguinte lema:
> 
> Seja a_n > 0... Se a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n = 1, entao: a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n >= n
> 
> este lema pode ser demonstrado por inducao.
> 
> Deste modo, vamos demonstrar a desigualdade de medias:
> MG = (a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n)^(1/n)
> MG^n = a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n
> (a_1 * a_2 * a_3 * ... * a_n)/(MG^n) = 1
> 
> como temos n termos no numerador, e n termos no denominador, podemos escrever do seguinte modo:
> (a_1/MG) * (a_2/MG) * ... * (a_n/MG) = 1
> 
> aplicando o teorema:
> 
> a_1/MG + a_2/MG + ... + a_n/MG >= n
> 
> (a_1 + a_2 + ... + a_n)/n >= MG
> 
> MA >= MG
> 
> abraços,
> Salhab
> 
>   ----- Original Message ----- 
>   From: vandermath@brturbo.com.br 
>   To: obm-l@mat.puc-rio.br 
>   Sent: Saturday, May 13, 2006 10:31 AM
>   Subject: [obm-l] duas perguntas!
> 
> 
>   Bom dia  caros colegas da lista. Tenho duas perguntas a fazer, uma simples e outra nem tanto.
>   1. Pode-se dizer que um retângulo ou um quadrado são trapézios, ou melhor, que os paralelogramos são trapézios?
> 
>   2. Onde eu poderia encontrar uma demonstração não tão complicada sobre a desigualdade entre as médias aritmética e 
geométrica para o caso geral, ou seja, n > 1 números positivos?
> 
>   Um abraço!
> 
>   Vanderlei
> 


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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