RE: [obm-l] 3 problemas antigos [sol. do segundo]

["Paulo Santa Rita" <paulosantarita@xxxxxxxxxxx>]

Ola Luis e demais colegas
desta lista ... OBM -L,

Isto nao e uma solucao. E um convite : aqui vai uma DICA para que os 
estudantes que se preparam para as Olimpiadas e que nos assistem resolvam o 
primeiro tambem :

Seja [ 2^(K-1)  - 1 ] / K = N^2. Entao : 2^(K-1) -1 = K*(N^2). Como 2^(K-1) 
- 1 e claramente impar, segue que K*(N^2) e impar e, portanto, K e impar. 
Podemos portanto por : K = 2m+1 para algum m inteiro. Substituindo :

2^(2m) - 1 = (2m + 1)*(N^2)  =>  (2^m - 1)(2^m + 1) = (2m+1)*(N^2)  => [(2^m 
- 1)(2^m + 1)] / (2m+1) = N^2

Como  2^m -1 e 2^m + 1 sao impares consecutivos, segue que eles sao primos 
entre si e nao podem ser ambos quadrados perfeitos. Logo ha duas 
possibilidades ...

SUGESTAO : O Carissimo Artur, que gosta muito de Analise, tambem poderia dar 
uma DICA para o terceiro

Um Abraco Todos
Paulo Santa Rita
5,1650,110506

>From: Luís Lopes <qed_texte@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] 3 problemas antigos [sol. do segundo]
>Date: Thu, 11 May 2006 18:22:30 +0000
>
>Sauda,c~oes,
>
>Aí vai a solução do segundo problema com comentários do
>prof. Rousseau.
>
>Your Download-Link: 
>http://rapidshare.de/files/20206231/secondproblem.pdf.html
>
>2) Prove que existem finitas soluções inteiras para
>
>x^2 - xy + y^2 = k^2  .
>
>Deve ser INfinitas soluções e x e y sem fatores comuns.
>
>===
>>Dear Luis:
>>
>>    Here is a solution of the second one.
>>Actually there was some language difficulty
>>or else at some point the problem was
>>incorrectly stated.  There are infinitely
>>many solutions where x and y have no common
>>prime factor.
>>
>>Cecil
>===
>
>[]'s
>Luís
>
>
>1) Ache todos os números k naturais tal que
>( 2^{k-1} - 1 )/ k é um quadrado perfeito.
>
>
>2) Prove que existem finitas soluções inteiras para
>
>x^2 - xy + y^2 = k^2  .
>
>
>3) Sendo a_n uma sequência de números positivos , tais que
>
>a_n <= a_{2n} + a_{2n+1}  ,
>
>prove que
>
>lim_{n - > +infinito}   a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n
>
>diverge.

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