RE: [obm-l] perimetro minimo

[rsarmento@xxxxxxxxx]

Srs,

Favor criticar (válidar ou não) o reciocínio abaixo

a) para termos o menor perímetro no quadrilátero xyzw significa que
á área dos quatros triângulos
      restantes (axw, bxy, cyz e dwz) devem ser máximas. Para isso  as
hipotenusas devem saer máximas o que ocorre quando cada cateto = l/2
(l=lado do quadrado original).
                      2       2
b) h=sqrt((l/2) +(l/2)   = 1/2*sqrt(2)*l

perímetro = 4 * 1/2*sqrt(2)*A =2sqrt(2)*l


at



Rodrigo


> Mensagem Original:
> Data: 12:32:37 06/05/2006
> De: kleinad2 <kleinad2@globo.com>
> Assunto: RE: [obm-l] perimetro minimo

>  '>'Considere um quadrado ABCD e pontos X,Y,Z,Q nos lados AB,BC,CD,DA 
> respectivamente.
>  '>'Determine o menor valor que pode assumir o perímetro do quadrilatero
> XYZW.
>
> Olá. A idéia chave é a seguinte: Para X e Z quaisquer, ambos diferentes
> de A, B, C, D, temos que Y e W ficam determinados por X e Z a fim de que
> XY + YZ e ZW + WX sejam o menor possível cada um; é simplesmente o princípio
> da reflexão num espelho plano. Por exemplo, vejamos onde Y tem que ficar:
> Tomando X' na semi reta AB tal que XB = BX', com B entre X e X', temos que
> XY + ZY é mínimo quando Y é a interseção de ZX' com BC. Como para qualquer
> Y* em BC temos Y*X = Y*X', basta ver que se Y <> Y* entãp ZY*X' é um triângulo,
> e a desigualdade triângular nos dá que ZY* + Y*X' < ZX' = ZY + YX'.
>
> Repare que com isso os triângulos ZCY e YBX' são semelhantes, se sendo YBX'
> e YBX congruentes, temos a semelhança de ZCY com XBY, e valem as igualdes
> de ângulos BYX^ = CYZ^ e BXY^ = YZC^.
>
> A mesma coisa se aplica na determinação de W. Agora se pensarmos em X e
> Y determinados por W e Z, repetindo o argumento e juntando todas as informações
> (comparando ângulos e vendo as igualdades) temos que o perímetro é mínimo
> quando temos AXW^ = BXY^ = CZY^ = DZW^ e DWZ^ = AWX^ = XYB^ = ZYC^, o que
> implica que XYZW é paralelogramo e também que ZC = AX. Logo, se r = XB temos
> que ZC = l - r, onde l é o lado do quadrado ABCD. Assim, ZY + YX = ZX' =
> l*sqrt(2). Como estamos num paralelogramo, o perímetro será o dobro disso,
> assim, o perímetro mínimo é 2*sqrt(2)*l. Desenhando fica fácil acompanhar
> o argumento.
>
> Só fica faltando mostrar que é prejuízo fazer um ou mais pontos dentre X,Y,Z
> e W coincidirem com A,B,C ou D. Evidentemente, XYZW ser igual a ABCD é prejuízo.
> Se agora digamos A = X, B = Y e C <> Z, D <> W, temos que ZY > ZC = l pois
> ZY é hipotenusa de ZCY. Pela desigualdade triangular, ZW + WX > ZX, e sendo
> ZX hipotenusa vem que ZX > l, logo o perímetro é maior que 3*l > 2*sqrt(2)*l.
>
> Se agora A = X, B = Y e C = Z, temos W <> D. Outra vez pela desigualdade
> triangular, WX + ZW > XZ, logo o perímetro é maior que l*(2 + sqrt(2)) >
> 2*sqrt(2)*l.
>
> Finalmente, se digamos X = A, Y = C, então a fim de que tenhamos um quadrilátero,
> temos Z <> D <> W. Novamente, pela desigualde triangular, ZW + ZY > WY e
> XW + WY > XY, logo o perímetro é maior que 2*XY = 2*sqrt(2)*l. Isso conclui
> a prova.
>
> []s,
> Daniel
>
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
>
>


--------------------------------------------------------------------------------
Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade,
ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha 60 mega 
para hospedar
sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o
Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar.

Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine
Oi Internet banda larga por apenas R$ 9,90. Clique em
http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa bocada!



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================