RE: [obm-l] perimetro minimo

[kleinad2@xxxxxxxxx]

 '>'Considere um quadrado ABCD e pontos X,Y,Z,Q nos lados AB,BC,CD,DA respectivamente.
 '>'Determine o menor valor que pode assumir o perímetro do quadrilatero
XYZW.

Olá. A idéia chave é a seguinte: Para X e Z quaisquer, ambos diferentes
de A, B, C, D, temos que Y e W ficam determinados por X e Z a fim de que
XY + YZ e ZW + WX sejam o menor possível cada um; é simplesmente o princípio
da reflexão num espelho plano. Por exemplo, vejamos onde Y tem que ficar:
Tomando X' na semi reta AB tal que XB = BX', com B entre X e X', temos que
XY + ZY é mínimo quando Y é a interseção de ZX' com BC. Como para qualquer
Y* em BC temos Y*X = Y*X', basta ver que se Y <> Y* entãp ZY*X' é um triângulo,
e a desigualdade triângular nos dá que ZY* + Y*X' < ZX' = ZY + YX'.

Repare que com isso os triângulos ZCY e YBX' são semelhantes, se sendo YBX'
e YBX congruentes, temos a semelhança de ZCY com XBY, e valem as igualdes
de ângulos BYX^ = CYZ^ e BXY^ = YZC^.

A mesma coisa se aplica na determinação de W. Agora se pensarmos em X e
Y determinados por W e Z, repetindo o argumento e juntando todas as informações
(comparando ângulos e vendo as igualdades) temos que o perímetro é mínimo
quando temos AXW^ = BXY^ = CZY^ = DZW^ e DWZ^ = AWX^ = XYB^ = ZYC^, o que
implica que XYZW é paralelogramo e também que ZC = AX. Logo, se r = XB temos
que ZC = l - r, onde l é o lado do quadrado ABCD. Assim, ZY + YX = ZX' =
l*sqrt(2). Como estamos num paralelogramo, o perímetro será o dobro disso,
assim, o perímetro mínimo é 2*sqrt(2)*l. Desenhando fica fácil acompanhar
o argumento.

Só fica faltando mostrar que é prejuízo fazer um ou mais pontos dentre X,Y,Z
e W coincidirem com A,B,C ou D. Evidentemente, XYZW ser igual a ABCD é prejuízo.
Se agora digamos A = X, B = Y e C <> Z, D <> W, temos que ZY > ZC = l pois
ZY é hipotenusa de ZCY. Pela desigualdade triangular, ZW + WX > ZX, e sendo
ZX hipotenusa vem que ZX > l, logo o perímetro é maior que 3*l > 2*sqrt(2)*l.

Se agora A = X, B = Y e C = Z, temos W <> D. Outra vez pela desigualdade
triangular, WX + ZW > XZ, logo o perímetro é maior que l*(2 + sqrt(2)) >
2*sqrt(2)*l.

Finalmente, se digamos X = A, Y = C, então a fim de que tenhamos um quadrilátero,
temos Z <> D <> W. Novamente, pela desigualde triangular, ZW + ZY > WY e
XW + WY > XY, logo o perímetro é maior que 2*XY = 2*sqrt(2)*l. Isso conclui
a prova.

[]s,
Daniel


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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