Re:[obm-l] multiplo de 4....

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Fri, 5 May 2006 01:20:28 -0300
Assunto: [obm-l] multiplo de 4....

> V se alguem pode me ajudar com ajuda com essa....
> 
> 
> Sejam n, a1, a2, a3,...,an, números inteiros tais que a1.a2.a3.....an=n e a1+a2+ a3+...+an=0. Prove que n é múltiplo de 4
> 

Suponhamos que n nao seja multiplo de 4.

Caso 1: n eh par ==> n = 4k+2
Nesse caso, apenas um dos a_i (digamos, a_n - spdg) serah par (de fato, serah o dobro de um impar).
Teremos entao, a_1 + ... + a_(n-1) = -a_n.
Mas o lado esquerdo eh uma soma de um numero impar de parcelas impares, logo eh impar, e o lado direito eh par ==> 
contradicao.

Caso 2: n eh impar
Nesse caso, todos os a_i serao impares e, portanto, sua soma deverah ser impar (soma de um numero impar de parcelas 
impares), ou seja, nunca poderah ser zero ==> contradicao.

Logo, a unica alternativa que resta eh a de que n eh multiplo de 4.

Este caso pode realmente ocorrer. 
Por exemplo, n = 4, a_1 = 1, a_2 = -1, a_3 = 2 e a_4 = -2.

[]s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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