[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida (Quadriláteros)

["claudio\.buffara" <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Dado o paralelogramo ABCD, sejam:
O = circuncentro de ACD;
H = ortocentro de ABC;
M = ponto medio de DC;
N = ponto medio de AC.
X = ponto da semi-reta DO tal que O estah entre D e X e DO = OX.

A ideia eh provar que X coincide com H.

<CDX = <MDO; DC = 2*DM; DX = 2*DO ==>
triangulos CDX e MDO sao semelhantes ==>
<DCX = <DMO = 1 reto (MO eh perpendicular a DC) ==>
CX eh perpendicular a AB ==>
X pertence a altura do triangulo ABC relativa ao lado AB  (i)

ABCD eh paralelogramo ==>
as diagonais AC e BD se bisectam ==>
N pertence a DB e DB = 2*DN

<BDX = <NDO; DB = 2*DN; DX = 2*DO ==>
triangulos BDX e NDO sao semelhantes ==>
<DXB = <DON ==>
XB eh paralelo a ON
Mas ON eh perpendicular a AC ==> 
XB eh perpendicular a AC ==>
X pertence a altura do triangulo ABC relativa ao lado AC  (ii)

(i) e (ii) ==> X eh o ortocentro de ABC ==> X = H.

Incidentalmente, isso nao soh prova que D, O e H sao colineares mas tambem que DH = 2*DO.

[]s,
Claudio.


---------- Cabeçalho original -----------

De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data: Wed, 3 May 2006 19:00:21 -0300 (ART)
Assunto: Re: [obm-l] Re:[obm-l] dúvida (Quadriláteros)

> Oi Claudio, muito obrigado pela observação. Acho que minha figura me fez afirmar algo que não poderia, pois construi o 
circuncírculo de modo que este fosse interceptado apenas uma vez por OH, mas de fato não tenho argumentos para afirmar que 
OH é tangente, o mesmo vale para OD. Neste caso, será que você poderia me ajudar com este problema.   
> 
> 
> "claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br> escreveu:     
>           De:  owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>           Para:  obm-l@mat.puc-rio.br
>           Cópia:  
>           Data:  Tue, 2 May 2006 22:07:50 -0300 (ART)
>           Assunto:  [obm-l] dúvida (Quadriláteros)
> 
> 
> cleber vieira <vieira_usp@yahoo.com.br> escreveu:     > Amigos, gostaria de saber se a resolução que dei para este problema 
está correta, tenho esta dúvida por achar minha resolução simples demais e também por achar que esse problema merecesse 
mais atenção.
>   >  
>   >  ABCD é um paralelogramo. H é o ortocentro do triângulo ABC e O, o circuncentro do triângulo ACD. Prove que H, O, D são 
colineares.
>   >  
>   > Resolução:
>   > Ligando o circuncentro O do triângulo ACD aos seus vértices e chamando de G o pé da altura do triângulo AOC e de M o pé 
da altura do triângulo AOD,obtemos o quadrilátero AMOG que é cíclico. Seja R o centro da circunferência circunscrita a AMOG 
>    
>   então RO será o raio e OH é tangente a esta circunferência em O
>    
>   *** Não entendi porque OH é tangente a esta circunferência.
>    
>    ,logo, <ROH=90º da mesma forma OD é tangente a esta circunferência em O
>    
>   *** Idem.
>    
>   , então, <ROD=90º ,assim, <HOD=180º e H, O, D são colineares.   
>   > 
>    
>   []s,
>   Claudio.
>    
> 
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