[obm-l] questao do IME - solucao do Paulo Santa Rita

[Sergio Lima Netto <sergioln@xxxxxxxxxxx>]

Caros colegas da lista,
O Paulo tem total razao.
A solucao colocada no arquivo ime9b tem um
"pequeno" equivoco. No penultimo passo, mostra-se
que a projecao do centro da esfera no plano ABC e'
um ponto fixo (conclusao 1).

Ate' aqui, tudo esta' perfeito. Porem,
a conclusao a seguir de que o lugar geometrico e' uma reta
paralela a r' e' que e' imprecisa.
Na verdade, a partir da conclusao 1, podemos apenas
dizer que o lugar geometrico do centro da esfera
ESTA' CONTIDO numa reta paralela a r', mas que nao necessariamente
eh toda esta reta paralela.

A determinacao exata do lugar geometrico fica
dificil na solucao geometrica incluida em ime9b.
A partir da solucao do Paulo Santa Rita, podemos
ver que o lugar geometrico depende
da relacao de "a" (metade da  distancia AB),
com "b" (distancia do ponto C a reta r, ou
o comprimento da perpendicular comum a r e r').

Se "b">"a", entao o centro da esfera eh sempre interno
ao tetraedro ABMM' e o lugar geometrico eh uma 
reta paralela a reta r'.
Se, porem, "b" < "a", o centro da esfera fica externo
ao tetraedro (ou seja, o tetraedro fica
inscrito na verdade num volume menor que uma hemi-esfera),
e o lugar geometrico do centro soh passa a existir
a partir do valor +- 1/sqrt(a^2 - b^2), dando duas semi-retas
paralelas a r', como o Paulo havia indicado.

Vou procurar colocar esta solucao em um futuro ime9c.
Abracos,
sergio

PS Acho que podemos considerar na solucao do Paulo
que c=0, de modo a alinharmos um dos eixos cartesianos
com a reta r', que seria descrita por exemplo como
(b,0,z), sem perda de generalidade e
facilitando um pouco as contas.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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