[obm-l] RES: [obm-l] Cálculo de Limites

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Foi citado L´Hopital. De fato funciona, e o que temos no primeiro caso eh, por definicao, a derivada de f(x) = x^(1/3) no ponto x = a, ou seja f'(a) = (1/3) * a^(-2/3) No segundo caso, eh simplesmente a derivada desta funcao em x =8.

 

Mas para chegarmos a esta formula, este limite teve inicialmente que ser calculado de outra forma. A aplicacao da regra de L´Hopital jah pressupoe o conhecimento das derivadas.  Seja a funcao f(x) = x^m, x em R, m inteiro positivo. Pelo Binomio de Newton, eh facil concluir que x -> 0 => ( 1+ x)^m ~ 1 + m*x. Baseados nesta equivalencia nas proximidades de x =0 e com alguma algebra, chegamos a que f'(x) = m * x^(m-1). 

 

Se m for inteiro negativo, podemos considerar, alem da equivalencia anterior, o fato de que x -> 0 => 1/(1+x) ~1 -x. E se n = p/q for um racional, entao as conclusoes anteriores e um pouco de algebra levam a que f'(x) = n* x^(n-1). Este eh o caso do exercicio.

 

Para n =0 a funcao f eh constante a a formula vale trivialmente.

 

Se n for um real qualquer, logo incluindo os irracionais, aih temos que considerar que x^n = e^(n* ln(x)), x >0, e tomar por base a definicao e as propriedades da funcao exponencial, dada por uma serie de potencias, e da sua inversa.

 

Artur

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Natan Padoin
Enviada em: quarta-feira, 3 de maio de 2006 00:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Cálculo de Limites

Alguém pode me ajudar a resolver estes limites?

 

lim         [RAIZ CÚBICA _ (x) - RAIZ CÚBICA _ (a)] / (x - a)

(x -> a)

 

lim          [RAIZ CÚBICA _ (8 + h) - 2] / h

(h -> 0)

 

Abraço.

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