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[obm-l] RES: [obm-l] Diferença de Quadrados (era: Re: [obm-l] Algebra)
Da
mesma forma que feito para primos, se n eh um natural (inteiro positivo)
qualquer, devemos entao ter que
(a +
b)(a - b) = n. Se d1 e d2 sao divisores de n tais que d1 * d2 = n e tais que a =
(d1 + d2)/2 e b = (d1 - d2)/2 sejam inteiros, entao n pode ser representado como
a diferenca dos quadrados de 2 naturais. Se n for impar, entao sempre
existem d1 e d2 impares tais que d1 * d2 = n. Neste caso, d1 +
d2 e d1 - d2 sao pares, de modo que a e b sao inteiros. Assim, uma conclusao eh
que todo numero impar pode ser representado como desejado. Neste caso, se n
for dado pelo produto de 2 primos distintos, a representacao eh unica. Caso
contrario, hah mais de uma possibilidade. Por exemplo para 75 = 3
* 5^2, temos os pares de divisores (25, 3) e (15, 5)
atendendo a a d1 * d2 = 75. Temos entao 2 pares para a solucao, (14 , 11) e (10,
5).
Se n
for par, nao existem divisores impares d1 e d2 tais que d1 * d2 = n.
Um deles tem necessariamente que ser par. Se apenas um deles for par, entao d1 +
d2 e d1 - d2 sao impares, ocasionando que nem e nem b sejam inteiros. Logo,
nao atendemos ao desejado. Concluimos assim que d1 e d2 tem que
ser ambos pares, o que implica que n eh necessariamente multiplo de 4.. Por
outro lado, para todo n multiplo de 4 hah divisores pares d1 e d2 satisfazendo a
d1 * d2 = n, de modo que todo multiplo de 4 pode ser representado como desejado
(exceto o proprio 4, se nao aceitarmos b =0). Quanto aa unicidade da
representacao: Se n = 2^k 2 para k>3, entao hah varias representacos.
Para 8 = 2^3 apenas o par (3, 1) atende. Se n for da forma n = 4* p, onde p eh
um primo impar, entao hah uma so repsentacao. Mas se n contiver mais de um
fator primo impar, ainda que ambos com expoente 1 em sua fatoracao, entao hah
mais de uma representacao.
Foi o
que consegui ver por ora.
Artur
Esse problema tem uma generalização interessante:
1. Ache todos os naturais que podem ser representados como uma
diferença de quadrados de naturais;
2. Para quais deles a representação é única?
Por exemplo, se p é um primo ímpar, então:
a^2 - b^2 = p ==>
(a + b)(a - b) = p ==>
a + b = p e a - b = 1 ==>
a = (p+1)/2 e b = (p-1)/2
e essa representação é (claramente?) única.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Fri, 28 Apr 2006
09:42:50 -0300 |
| Assunto: |
Re: [obm-l]
Algebra |
> Vejamos:
> a^2 - b^2 =
7
> (a+b)(a-b) =
7
>
> Vamos por exclusão:
> a-b não pode ser 0
> a-b não pode ser 3 (pois 3 não
divide 7)
> a-b não pode ser 4 (pois 4 não divide
7)
> a-b não pode ser 7
> aqui é interessante: se a
= 7+b e substituindo acima temos que:
> ( 7+b+b) 7 =
7
> (7+2b) =
1
> 2b = -6
==> b=-3 que não é natural
> Resposta B.
----- Original Message -----
Sent: Thursday, April 27, 2006 8:38 PM
Subject: [obm-l] Algebra
>
Os números naturais a e b, com a>b, são tais que
a^2-b^2=7. O valor de a-b é:
a)0 b)1 c)3 d)4 e)7