[obm-l] RES: [obm-l] �lgebra - Grupos aditivos e multiplicativos

[Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

a) Se f , g e h estao em AR, entao

 

 (g+f))(x) = g(x) + f(x) = f(x) + g(x) = (f+g)(x) , em virtude da propriedade comutativa que adicao apresenta nos reais. Assim, a propriedade comutativa eh satisfeita em AR.

 

 (f + (g+h)(x) = f(x) + (g+h)(x) = f(x) +  g(x) +  h(x)  = (f+g)(x) + h(x) = ((f+g) + h)(x), de modo que AR possui a propriedade associativa.

 

 (g+h)(x) sendo n a funcao identicamente nula, n(x) =0 para todo x de A, entao para toda f de AR temos (f + n)(x) = (n+f)(x) = n(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x), de modo que n eh o elemnto neutri de AR com relacao aa adicao.

 

E para cada f de AR existe a funcao -f dada por (-f)(x) = -f(x), sendo imediato que f + (-f) = n. Assim, todo elemto der AR eh simetrizavel.  

 

Assium, AR eh um grupo comutativo com relacao aa adicao.

 

Com relacao aa multiplicacao, sao validas as propriedades comutativas e associativa e ewxiste elemto neuto, a funcao I dada por I(x) = 1 para todo x de A. Mas nem toda f eh simetrizavel, pos se tivermos f(x) = 0 para algum x de A, entao f nao eh simetrizavel. Apenas as funcoes que nunca se anulam o sao.

 

As outras eguem passos similares. E de fato, para termos a exstencia de f^(-1), f tem que ser injetora, embora o dominio de f^(-1) nao tenha que ser todo o R.

 

Artur. 

 

 

 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de Daniel S. Braz
Enviada em: sexta-feira, 31 de mar�o de 2006 12:10
Para: OBM-L
Assunto: [obm-l] �lgebra - Grupos aditivos e multiplicativos

Senhores,

 

[Problema do livro de �lgebra do Iezzi, cap�tulo IV - Grupos e Subgrupos]

 

Seja A um subconjunto n�o vazio. Seja AR o conjunto das aplica��es de A em R (R=Reais).
Definimos uma opera��o de adi��o e multiplica��o em AR, para fun��es de A em R, da seguinte
maneira:

(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(f*g)(x) = f(x)*g(x)

a) Mostre que AR dotado da adi��o possui a estrutura de um grupo.
b) Mostre que AR dotado da multipli��o n�o possui, em geral, a estrutura de um grupo.

a)
(f+g)+h = f+(g+h) -> � associativa
f+e = f -> e = 0 -> Possui elemento neutro
f+f^(-1) = e -> f^(-1) = -f -> Aqui est� minha d�vida, f^(-1) � uma fun��o de R em A,
ent�o -f(x) n�o necessariamente estar� em A...
Ex.: A = {1,2} ; f(x) = x + 1 -> f^(-1)(x) = -x-1 -> f^(-1)(x) n�o est� em A.
onde estou errando?

 

b)
(f*g)*h = f(*g*h) -> � associativa
f*e = f -> e = 1 -> Possui elemento neutro
f*f^(-1) = e -> f^(-1) = 1/f -> A mesma d�vida...

 

obrigado.

 

Daniel.