Re: [obm-l] Mais um Problema de Jorge ressuscitado

[Henrique Rennó <henrique.renno@xxxxxxxxx>]

Olá Chicão!!!

Não entendi uma igualdade no decorrer da explicação:

> Então d divide (a+b)-a=b. Como mdc(a,b)=1, temos,

(a+b).a=b --> Por que essa igualdade foi escolhida???

Suponha a=7 e b=2, ou seja, o racional é 7/2.

(7+2).7=2 --> 9.7=2 --> 63=2 --> ???

Agradeço a atenção,

Abraços

On 1/31/06, Chicao Valadares <chicaovaladares@yahoo.com.br> wrote:
> Nao lembro mais em que email ele postou esse problema:
>
> " Mostre que a diferença entre um número racional,
> suposto
> distinto de zero e um, e seu inverso, nunca é um
> número inteiro."
>
> Mas ele o postou e ninguem da lista resolveu.Aqui esta
> a soluçao de um colega meu de faculdade:
>
> Seja x=a/b (com mdc(a,b)=1) o número racional em
> questão e suponha que x é diferente de 0, 1 e -1.
> Temos
>
> x-1/x=a/b-b/a=(a^2-b^2)/(ab)=(a+b).(a-b)/(ab). (*)
>
> Suponha que d é um divisor comum de "a" e de "a+b".
> Então d divide (a+b)-a=b. Como mdc(a,b)=1, temos,
> necessariamente, d=1.
> Analogamente (gosto dessa palavra):
>
> mdc(a,a-b)=mdc(b,a+b)=mdc(b,a-b)=1.
>
> Sendo assim, em (*) não existe fator comum entre
> numerador e denominador. Para que x-1/x seja inteiro
> restam as opções
>
> a+b=0, a-b=0, ab=1.
>
>
> 1) Se a+b=0, teremos a=-b e x=a/b=-1, o que é nao pode
> por hupótese.
>
> 2) Se a-b=0, teremos a=b e x=a/b=1, o que também não
> pode.
>
> 3) Finalmente, se ab=1, teremos a=b=1 ou a=b=-1 e
> ocorre x=a/b=1; nao pode de novo!
>
> Sendo assim, não existe tal racional.

--
Henrique

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================