[obm-l] Mais um Problema de Jorge ressuscitado

[Chicao Valadares <chicaovaladares@xxxxxxxxxxxx>]

Nao lembro mais em que email ele postou esse problema:

" Mostre que a diferença entre um número racional,
suposto
distinto de zero e um, e seu inverso, nunca é um
número inteiro."

Mas ele o postou e ninguem da lista resolveu.Aqui esta
a soluçao de um colega meu de faculdade:

Seja x=a/b (com mdc(a,b)=1) o número racional em
questão e suponha que x é diferente de 0, 1 e -1.
Temos

x-1/x=a/b-b/a=(a^2-b^2)/(ab)=(a+b).(a-b)/(ab). (*)

Suponha que d é um divisor comum de "a" e de "a+b".
Então d divide (a+b)-a=b. Como mdc(a,b)=1, temos,
necessariamente, d=1.
Analogamente (gosto dessa palavra):

mdc(a,a-b)=mdc(b,a+b)=mdc(b,a-b)=1.

Sendo assim, em (*) não existe fator comum entre
numerador e denominador. Para que x-1/x seja inteiro
restam as opções

a+b=0, a-b=0, ab=1.


1) Se a+b=0, teremos a=-b e x=a/b=-1, o que é nao pode
por hupótese.

2) Se a-b=0, teremos a=b e x=a/b=1, o que também não
pode.

3) Finalmente, se ab=1, teremos a=b=1 ou a=b=-1 e
ocorre x=a/b=1; nao pode de novo!

Sendo assim, não existe tal racional.

"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

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